「積分法」の式変形がよくわかりません。

質問

現在、「積分法」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
関数S(1→x)｛(2-t)logt｝dt(1≦x≦e)の最大値、最小値を求めよ。です。
S(1→x)は積分範囲を示しています。

私は、
当然のことながら、これを微分するので、部分積分をしました。Logtを微分するので、(2-t)を積分しました。そして、]
[（2t-t^2/2）logt]-S（2t-t^2/2）(1/t)dt
と解いたのですが、

解答でも部分積分をしているのですが、解答では、、
(2-t)の微分が｛-(2-t)^2｝/2となっていて、
［｛-(2-t)^2｝/2*logt］-S｛-(2-t)^2｝/2 (1/t)dt
となっていました。
｛-(2-t)^2｝/2を逆に微分してみると確かに（２－ｔ）にはなるのですが、
素直に計算すれば、（2t-t^2/2）となると思います

そこで質問なのですが、このような変形はよくあるのでしょうか？
どういう目的でこのような変形をしているのでしょうか？この後の解法を読んでもその意図がわかりません。
式がわかりにくい書き方ですいません。
私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

結論は同じになるはずですから、どちらで考えてもいいです。

特に、この問題に関しては、
{2t-t^2/2}
{-(2-t)^2}/2
のどちらと考えるかは、この問題では、好みの問題でしょう。

{2t-t^2/2}は、項が２つあるのに対し、
{-(2-t)^2}/2は、項が１つだけです。
この部分から、{-(2-t)^2}/2の方が考えやすい、と考える人もいるでしょう。

部分積分の第二項は、
{2t-t^2/2}と捉えれば、∫(2t-t^2/2）(1/t)dt=∫(2-t/2)dtのように"t分の"が消えます。
しかし、{-(2-t)^2}/2と捉えると、"t分の"が残ってしまいます。
この部分から、{2t-t^2/2}の方が考えやすい、と考える人もいるでしょう。

個人的には、後者のメリットの方が大きいと思うので、goodoさんの考え方の方がいいかなぁ、とは思いますが、人によっては前者のメリットの方が大きい、と考える人もいるでしょう。

という訳で、
＞そこで質問なのですが、このような変形はよくあるのでしょうか？
＞どういう目的でこのような変形をしているのでしょうか？この後の解法を読んでもその意図がわかりません。

この問題に関しては、そこまで大きな意図があるわけではないと思います。
しかし、問題によっては、少しだけ、解きやすくなります。
例えば、∫(2-t)log(2-t)dt
を部分積分で求める場合には、{2t-t^2/2}と捉えるより、{-(2-t)^2}/2と捉える方が楽だと思います(実際に試してみれば分かると思います)

この例のように、他に"2-t"という項があれば、
2-tを2+(-t)のように、２つの項と捉えるのではなく、
2-tを１つの項と捉えて(s=2-tで置換するイメージ)、2-tの積分を{-(2-t)^2}/2と考えた方が簡単になる事が多いと思います。
そうでないのなら、どちらで考えても大差はないでしょう。(多分)

お礼

eatern27さま、ご解答ありがとうございました。
今一度試してみたところ、両方とも同じ解答になりました。両方とも試してみたところ、部分積分の第二項で分母で、ｔ分のがとれるので、私はやはり自分のやり方の方がいいな、と思いました。第一解答の方のようなのはぱっとは思い浮かびません。練習すれば、浮かぶようになるのでしょうか。eatern27さまがおっしゃるように、他に同じような項があれば、くくれるかなと試してみることもあるかもしれませんが。

ご回答大変参考になりました。お忙しいところ、ありがとうございました。