Gal_Q(x^4+1)がZ_2×Z_2の同型

質問

Gal_Q(x^4+1)がZ_2×Z_2と同型になる理由についてなぜなのかがよくわかりません。
(具体的に言うと、Gal_Q(x^4+1)の構成要素と、その各々の元がZ_2×Z_2の各元にどのように対応しているのかがよくわかりません。)

x^4+1=0を計算すると、±(1+i)/√2, ±(1-i)/√2となり、Gal_Q(x^4+1)がＱ-同型写像であることと、Z_2×Z_2が{１,α,β,αβ}で構成されるアーベル群であることはわかります。

※Gal_Q(x^4+1)は体Ｑ上の多項式x^4+1のガロア群

もしもわかられる方がおられれば、お教え頂けないでしょうか？

回答No.1

misumiss · ベストアンサー

＞x^4+1=0を計算すると、±(1+i)/√2, ±(1-i)/√2となり、
4つのどれかを a とすると, 残りの3つは, -a, 1/a, -1/a, とあらわされます。
1, f, g ∈ G = Gal_Q(x^4 + 1), に対して, f(a) = -a, g(a) = 1/a, とすると, fg(a) = -1/a
（ここでは, G × { a, -a, 1/a, -1/a } → { a, -a, 1/a, -1/a } という作用を考え, G から S_4 への準同型写像を定義することで, G を S_4 の部分群とみなしています）
G の位数は 4 ですから, G = { 1, f, g, fg } で, 乗積表を作ってみれば, G が Klein の4元群（と同型）であることが, おわかりになると思います。
Z_2 × Z_2 も, 加法群とみなして, 表を作ってみれば, やはり, Klein の4元群と同型です。

お礼

有り難うございます！！！
本当にとても！！！よくわかりました。