Gal(L/K)∋σ→σ(α) ∈Xが単射の理由

質問

「単純代数拡大L⊃K(α)⊃Kの場合、ガロア群の位数に関する不等式について|Gal(L/K)|≦[L:K]が成立する」ことに対する証明問題について考えています。

「環と体の理論(酒井文雄著)p110」には、原始元αのK上の最小多項式をf(x)とし、XをLにおけるfの根の集合としたとき、写像Gal(L/K)∋σ→σ(α) ∈Xが単射であると書かれていますが、この理由がわかりません。
(例えば、簡単な具体例L=C,K=Rのときにはわかります。)
もしもおわかりになる方がいらっしゃれば、お教え頂けないでしょうか？

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

単射であることを言うためには、τをGal(L/K)のもう１つの元として、

（１）　τ(α) = σ(α) なら、τ = σである

ということを言えばよいわけです。また、τ = σというのは、

（２）　L の任意の元wに対して、τ(w) = σ(w) である

ということです。

さて、キーポイントは、αが原始元だということです。すなわち、L の任意の元wは、Kを係数とする適当な多項式 g(x) により、w = g(α) と表すことができます。すると、次のようになります。

τ(α) = σ(α)
⇒　τ(w) = τ(g(α)) = g(τ(α)) = g(σ(α)) = σ(g(α)) = σ(w)
⇒　τ = σ

お礼

本当にとてもよくわかり、疑問が解決しました。
有り難うございました。