環同型の証明です
代数学の勉強をしているのですが,環同型の証明がうまくいきません.
ご助言いただけると幸いです.
以下,問題への準備
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R-加群Mは,
M=M_1+〇M_2 (+〇は直和)
と直和分解されている.
Hom_R(X,Y)をXからYへの準同型全体,End_R(M)をMの自己準同型環とする.
π_i : M→M_iを射影, ν_i : M_i→Mを入射とする.(i=1,2)
このとき,α∈End_R(M)に対し,
α_11= π_1αν_1 ∈End_R(M_1)
α_21 = π_2αν_1 ∈Hom_R(M_1, M_2)
α_12 = π_1αν_2 ∈Hom_R(M_2, M_1)
α_22= π_2αν_2 ∈End_R(M_2)
が得られ,x_1∈M_1, x_2∈M_2について,
α(x_1, x_2) = (α_11(x_1) + α_12(x_2) , α_21(x_1) + α_22(x_2))
が成り立つ.
そこで,行列の集合
α_11 α_12 End_R(M_1) Hom_R(M_2, M_1)
( ) ∈ T := ( )
α_21 α_22 Hom_R(M_1, M_2) End_R(M_2)
で表すことにする.
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以下が問題です:
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α_11 α_12
Φ: End_R(M) ∋α→ ( ) ∈ T
α_21 α_22
が環同型であることを証明せよ.
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残り悩んでいるのは,
(i) Φ(ab) = Φ(a)Φ(b)
(ii) 単射
(iii)全射
です.(他はできました)
少し本文が複雑になってしまっていますが,よろしくお願いいたします.
