同型の質問です

質問

ある命題の証明の途中で同型を示そうと思ったのですが,いまいちわからなかったので,ご助言いただければ幸いです・

命題：
R-加群の完全列{0}→X→Y→Z→{0](φ:X→Y,ψ:Y→Z)について、次の性質は同値:
(1)R-準同型ρ:Y→Xで,ρφ=1xとなるものが存在する;
(2)R-準同型μ:Z→Yで,ψμ=1zとなるものが存在する.
(1x,1zはそれぞれX,Zの恒等写像)
このとき,次の直和分解を得る:
Y=φ(X)○+Ker(ρ) = Ker(ψ)○+μ(Z) ~=X○+Z (○+は直和, ~=は同型を表しています.)

前半の同値性は証明できたので,認めることにします.
後半の証明において,テキストでは,

Y = φ(X) ○+Ker(ρ)　・・・✽
となり,φは単射,ψは全射であるから,
φ(X) ~= X , ・・・(1)
Ker(ρ) ~= Y/φ(X)~=Z　・・・(2)
を得る.

となっていました.(✽までの過程は自力でできたので割愛させていただきます.)

(1)に関しては準同型定理から示せましたが,
(2)がいまいちわかりませんでした.

よろしければご助言お願い致します

回答No.1

misumiss · ベストアンサー

f： Y/Im(φ) → Ker(ρ) を,
f([y]) = y - φρ(y), で定義します。
(1) まず, f が well-defined であることを示します。
[y_1} = [y_2] とすると,
y_1 - y_2 ∈ Im(φ) であるから,
ある x ∈ X に対して, φ(x) = y_1 - y_2 が成り立つ。
また, ρφ = id であるから,
ρφ(x) = x である。
よって, φρφ(x) = φ(x) となる。
つまり, φρ(y_1 - y_2) = y_1 - y_2 であるから,
y_1 - φρ(y_1) = y_2 - φρ(y_2) が成り立ので, f は well-defined である。
(2) f が R-準同型写像であることは, 御自身で確認してください。
(3) 次に, f が単射であることを示します。
f([y_1]) = f([y2]) とすると,
y_1 - φρ(y_1) = y_2 - φρ(y_2) であり,
y_1 - y_2 = φρ(y_1 - y_2) が成り立つ。
よって, y_1 - y_2 ∈ Im(φ) であるから,
[y_1] = [y_2] がいえる。
すなわち, f は単射
(4) 最後に, f が全射であることを示します。
任意の y ∈ Ker(ρ) に対して,
f([y]) = y - φρ(y) = y - φ(0) = y が成り立つので, f は全射
(1) ～ (4) より, f は R-同型写像

g： Y/Im(φ) → Z を,
g([y]) = ψ(y), で定義します。
(1) まず, g が well-defined であることを示します。
[y_1} = [y_2] とすると,
y_1 - y_2 ∈ Im(φ) = Ker(ψ) であるから,
ψ(y_1 - y_2) = 0 である。
よって, ψ(y_1) = ψ(y_2) が成り立つので, g は well-defined である。
(2) g が R-準同型写像であることは, 御自身で確認してください。
(3) 次に, g が単射であることを示します。
g([y_1]) = g([y2]) とすると,
ψ(y_1) = ψ(y_2) であり,
ψ(y_1 - y_2) = 0 が成り立つ。
よって, y_1 - y_2 ∈ Ker(ψ) = Im(φ) であるから,
[y_1] = [y_2] がいえる。
すなわち, g は単射
(4) 最後に, g が全射であることを示します。
ψ は全射なので, 任意の z ∈ Z に対して,
ψ(y) = z となる y ∈ Y が存在します。
この y に対して, g([y]) = ψ(y) = z が成り立つので, g は全射
(1) ～ (4) より, g は R-同型写像

お礼

ありがとうございます！

大変わかりやすく,理解できました.自分でももう一度確認して理解を深めます.