2次関数と3次関数の共通接線

質問

数学の問題がわかりません。
よろしくお願いします。

y=x^3のグラフの接線で、放物線y=-(x-4/9)^2にも接するものを全て求めよ。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

y=x^3　...(1) 上の接点(a,a^3)における接線の方程式は
　y=3(a^2)(x-a)+a^3 → y=3(a^2)x-2a^3 ...(A)
y=-(x-4/9)^2 ...(2) 上の接点(b,-(b-4/9)^2)における接線の方程式は
　y=-2(b-4/9)(x-b)-(b-4/9)^2 → y=-2(b-4/9)x+b^2-16/81 ...(B)
(A),(B)の接線が一致するとき、その接線が共通接線となるから
(A),(B)の右辺の各次の係数を等しくなることから
　3(a^2)=-2(b-4/9) ...(C)
　-2a^3=b^2-16/81　...(D)
(C),(D)を連立させて、a,bについて解けば
　(a,b)=(-4/3,-20/9),(4/9,4/27),(0,4/9) ...(E)

(E)の３つのaを順に(A)に代入すれば、3本のそれぞれの共通接線が求まる。
すなわち、３つのaに対する共通接線を求めると
　a=-4/3　→　y=(48/9)x+(128/27)
　a=4/9　 →　y=(16/27)x-(128/729
　a=0　　 →　y=0
となります。
元の(1),(2)のグラフ（それぞれ黒実線、青実線のグラフ）と3本の接線のグラフ（赤実線）を図にして添付しますので、ご確認ください。

お礼

できました！
しょーもない計算ミスで混乱していたようです。
わざわざ図まで入れていただきありがとうございました！