２次関数の共通接線

質問

C1:y=x^2 , C2:y=(x-2)^2+4

C1とC2の共通の接線を求めよ。

傾きが異符号　かつ　交わらない
なら接線は２本存在しますが、C1とC1を(2,4)に平行移動させただけのC2に共通の接線が存在するのでしょうか。

答えはy=2x-1なのですが、グラフを描いてどう考えても接している様には見えません。

解説お願いします。

回答No.1

cossa · ベストアンサー

こんな感じで接するみたいよ。

回答No.6

Oxia

数学の解答としてしっかりしたものは、いくらでも解説があると思うので、直感的に考えてみましょう。
C2はC1をx軸方向に2，y軸方向に4平行移動させたものです。
平行移動によって、C1上の任意の点P1がC2上の点P2に移動したとすると、P1とP2を結ぶ直線の傾きは、2です。・・・※

ここで、傾き2の直線が、C1と接している点P1を特にQ1としましょう。
つまり、接点Q1における放物線C1の接線は、傾きが2ということです。
Q1は平行移動によって、Q2に移ります。平行移動しただけなので、Q2における放物線C2の接線も、傾きは2です。

また、※より、Q1とQ2を結ぶ直線の傾きも、2です。

つまり、上の作業は、放物線C1上の点Q1における接線上を、C1がスライドしてC2に移動した、という様に考えられ、まぎれもなく共通接線はある、ということです。

坂道を、放物線がスライドしたような状況を考えれば、すぐに理解できると思います。

回答No.5

cossa

あ。Ｎｏ．１です。

すいません。間違ってました。

Ｃ２と直線が接するのは、X＝3のときですね。

でも、こんな感じです。

回答No.4

Tofu-Yo

こんなイメージです。接してません？

回答No.3

aquatarku5

接線とC1,C2との接点のx座標をそれぞれa,b。また接線の傾きをmとする。

接線は、
y=m(x-a)+a^2　　　　…(1)
=m(x-b)+(b-2)^2+4　…(2)
と表せる。

C1と(1)より、
x^2=m(x-a)+a^2
x^2-mx+a(m-a)=0
両者が接することから、判別式D=0
すなわち、D=m^2-4am+4a^2=(m-2a)^2=0
したがって、m=2a　　…(3)

同様に、C2と(2)が接することから、
(x-2)^2+4=m(x-b)+(b-2)^2+4　より
m^2+4(b-2)^2-4m(b-2)=(m-2(b-2))^2=0
したがって、m=2(b-2)　…(4)

一方、接線は、(a,a^2)と(b,(b-2)^2+4)を通ることから、
m={(b-2)^2+4-a^2}/(b-a)　　…(5)

(3)(4)(5)より、
m=2、a=1、b=3　すなわち、接線はy=2(x-1)+1=2x-1。

※グラフに示した場合、C1に接する接線に対してC1を接した状態
のまま(2,4)だけ平行移動したと考えてみてはいかがでしょう。

回答No.2

spring135

>接線は２本存在しますが

接線一本なら描けますか。各放物線の接点を（a,a^2),(b,(b-2)^2+4)
として接線の方程式を求め、これらが一致する条件から簡単に解は見つかります。