高校数学C、行列の問題です。分かる方、お願いします

質問

※行列は（左上、右上、左下、右下）、（上、下）（２×１行列）とします。

問題

行列Ａ＝( 2,3,1,2 ) , Ｐ＝( √3,－√3,1,1 )に対して、Ｂ＝P^(－1)APとおく。
また、ｎ＝1,2,3,・・・に対して、ａｎ，ｂｎを
( an,bn )=A^n(2,0)で定める。次の問いに答えよ。

(1) P^(－1)およびBを求めよ。

(2) an,bnを求めよ。

(3) 実数xを超えない最大の整数を[x]で表す。このとき
[(2+√3)^n]=an－1 (n=1,2,3,・・・)を示せ。

また cn=(2+√3)^n－[(2+√3)^n] とするとき、

lim(n→∞)cn の値を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

(1) P^(－1)およびBを求めよ。
P^(－1)=(Pの逆行列)=(1/(2√3))(1,√3,-1,√3)
P^(－1)A=(1/(2√3))(2+√3,3+2√3,-2+√3,-3+2√3)
B=(1/(2√3))(6+4√3,0,0,-6+4√3)=(2+√3,0,0,2-√3)

(2) an,bnを求めよ。
Aの固有値α、βを計算する。単位ベクトルをE(1,0,0,1)とする。
α=(1/2)(2+2+√((2+2)^2-4(2*2-3*1)))=(1/2)(4+√(16-4))
=2+√3
β=2-√3
よってA^n=(((2+√3)^n-(2-√3)^n)/(2√3))A
+(((2+√3)(2-√3)^n-(2-√3)(2+√3)^n)/(2√3))E
((2+√3)^n-(2-√3)^n)/(2√3)=K
((2+√3)(2-√3)^n-(2-√3)(2+√3)^n)/(2√3)=Hとして
A^n=KA+HE=(2K,3K,1K,2K)+(H,0,0,H)=(2K+H,3K,K,2K+H)
A^n(2,0)=(4K+2H,2K)よって
an=4K+2H=(1/√3)(2(2+√3)^n-2(2-√3)^n)
+(1/√3)((2+√3)(2-√3)^n-(2-√3)(2+√3)^n)
=(1/√3)((2+√3-2)(2-√3)^n+(2-2+√3)(2+√3)^n)
=(2-√3)^n+(2+√3)^n
bn=2K=(1/√3)((2+√3)^n-(2-√3)^n)

(3) 実数xを超えない最大の整数を[x]で表す。このとき
[(2+√3)^n]=an－1 (n=1,2,3,・・・)を示せ。
0＜(2-√3)^n＜1
(2+√3)^n＜(2+√3)^n+(2-√3)^n＜1+(2+√3)^n
-1+(2+√3)^n＜-1+(2+√3)^n+(2-√3)^n＜(2+√3)^n
-1+(2+√3)^n＜an-1＜(2+√3)^n
anを二項展開すると
an=(2-√3)^n+(2+√3)^n
=∑［k=0→n］nCk((2^k)(-√3)^(n-k)+(2^k)(√3)^(n-k))
=∑［k=0→n］nCk(2^k)((-√3)^(n-k)+(√3)^(n-k))
ここで(-√3)^(n-k)+(√3)^(n-k)は(n-k)が奇数の時は0、
(n-k)が偶数の時は2*3^((n-k)/2)すなわち整数となるので、
anそしてanー1も整数となり、-1+(2+√3)^n＜an-1＜(2+√3)^n
から[(2+√3)^n]=an－1が成立する。

また cn=(2+√3)^n－[(2+√3)^n] とするとき、
lim(n→∞)cn の値を求めよ。
cn=(2+√3)^n－(an-1)=(2+√3)^n-(2-√3)^n-(2+√3)^n+1
=1-(2-√3)^n
ここで0＜2-√3＜1であるからlim(n→∞)(2-√3)^n=0
よってlim(n→∞)cn =lim(n→∞)(1-(2-√3)^n)=1

お礼

細かい部分まで分かりやすく説明して頂きありがとうございました。
どうにか理解することが出来ました。

回答No.2

nag0720

(1)
２×２行列の逆行列は、公式にもなっているから調べれば分かるはず。
http://www.cg.info.hiroshima-cu.ac.jp/~miyazaki/knowledge/tech23.html
Bは計算するだけ。

(2)
B^n＝(P^(－1)AP)(P^(－1)AP)(P^(－1)AP)・・・(P^(－1)AP)＝P^(－1)A^nP
だから
A^n＝PB^nP^(－1)

(3)
Anが整数であることと、0＜(2-√3)^n＜1であることを利用する。

lim(n→∞)cnは、CnをAnと(2-√3)^nで表し、(2-√3)^n → 0　を利用する。

お礼

分かりやすく説明して頂きありがとうございました。
何とか理解することが出来ました。

回答No.1

Tacosan

で, 何がわからんの?

ちなみに (3) に出てくる cn って 0 だよね.