数列教えてください（誘導に従うと解けません・・・）

質問

A(1)=4、A(n+1)=4-3/An、
Bn=A(1)・A(2)・A(3)・・・A（n）、
Cn=B(n+1)-Bn

(1)Cnの一般項を求めよ
(2)Bnの一般項を求めよ
(3)Anの一般項を求めよ

という問題なのですが、解説には、
（１）は、Cn=A(1)・A(2)・A(3)・・・A（n）{A（n+1）-1}=A(1)・A(2)・A(3)・・・A（n）(3-3/An)
=A(1)・A(2)・A(3)・・・A（n）［3・{(An-1）/An}]
とだけ書いてあり、答えは、Cn=3^(n+1)となるようです。

自分でもいろいろ考えたのですが、分数型の漸化式として解くと、（３）のAnは答えが出ました。
ですが、（１）と（２）は（３）の誘導だと思うのに、（１）→（２）→（３）と解けません。（この仮定が間違っているのでしょうか。）

【質問】この問題は（１）→（２）→（３）と解けるのでしょうか。その解き方を教えてください。よろしくお願いします。

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＊（自分の考え）Anの出し方
A(n+1)=［4An-3]/An、

AnA(n+1)をxとおくと、x^2-4x+3=0より、x=1,3

よって、［A(n+1)-1]/［A(n+1)-3］=［A(n)-1]/［A(n)-3］×3

ここで、Dn=［A(n)-1]/［A(n)-3］とおくと、

D(n+1)=3Dnより、Dn=3^(n-1)・D(1)

D(1)=3より、［A(n)-1]/［A(n)-3］=3^n

以上より、An=［{3^(n+1)}-1]/［(3^n)-1］・・・（答え）

＊ちなみに、（２）（３）の答えは、それぞれ、Bn=1/2(3^(n+1)-1)、An=［{3^(n+1)}-1]/［(3^n)-1］です。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

C(n)=A(1)・A(2)・A(3)・・・A(n){A(n+1)-1}
=A(1)・A(2)・A(3)・・・A(n)[3・{(A(n)-1)/A(n)}]
=3A(1)・A(2)・A(3)・・・A(n-1){A(n)-1}
=3C(n-1)
より、C(n)は等比数列になります。

B(n)=C(n-1)+C(n-2)+C(n-3)+・・・+C(1)+B(1)

A(n)=B(n)/B(n-1)

お礼

ご回答どうもありがとうございます。
A(1)・A(2)・A(3)・・・A(n-1){A(n)-1}=C(n-1)というのが分かっていなかったようです。
もやっとした気持ちが晴れました。

回答No.2

spring135

>AnA(n+1)をxとおくと、x^2-4x+3=0より、x=1,3

何を言っているのか不明です。

極限値ｘがあるとすると

x=［4x-3]/x

これを解いて

ｘ＝3,1

この時

A(n+1)-1=3-3/An=3(An-1)/An (1)

A(n+1)-3=(An-3)/An　　　　　　　(2)

(1)/(2)を作ると

以下

＞よって、［A(n+1)-1]/［A(n+1)-3］=［A(n)-1]/［A(n)-3］×3

につながります。

A(n)が求まれば猪口才なB(n),C(n)なんて気にすることはありません。

適当に付き合ってやればよろしい。

質問者のA(n)、あってます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>AnA(n+1)をxとおくと、x^2-4x+3=0より、x=1,3
>何を言っているのか不明です。

仰るとおりですね。「An、A(n+1)をxとおくと」と書きたかったのですがミスしていたようです、すみません。

ただ、「a(n+1)=an=x と置いて、xの値を求めるのが解き方のパターンであり、なぜそう置くかは分かっていない」と私が教えてもらった数学教師が仰っていたのですが、極限値ということなんですね。
少し謎が解けた気がします。

>A(n)が求まれば猪口才なB(n),C(n)なんて気にすることはありません。

確かに、他の問題にB(n),C(n)は出てこないでしょうから、A(n)さえ求まれば問題ないですね。。
ありがとうございました。