数学の問題です。お知恵をお貸しください。

質問

コインを投げ，点Pを次の規則によって正三角形ABC の頂点A, B, C 上を動かす．
点PがAにあるときは，表が出たらBに動かし、裏が出たらC に動かす．
Bにあるときは，表が出たらCに動かし，裏が出たらAに動かす.
C にあるときは，表が出たらA に動かし，裏が出たらBに動かす．
はじめに点PはAにあるとし，コインをn回投げた後にPがA にある確率をan、B にある確率をbn、 C にある確率をcnとする．

(1)
(i)an+1をan, bn, cnを用いて表せ．
(ii)bn+1をan, bn, cnを用いて表せ．
(iii) cn+1 をan, bn, cnを用いて表せ．

(2) an を求めよ．

回答No.2

info22_

表が出る確率と裏が出る確率が共に1/2としておきます。
添字を[]を付けて表すことにします。

(1)
a[1]=1,b[1]=0,c[1]=0

(i)
a[n+1]=(1/2)b[n]+(1/2)c[n]
(n≧1)

(ii)
b[n+1]=(1/2)a[n]+(1/2)c[n]
(n≧1)

(iii)
c[n+1]=(1/2)a[n]+(1/2)b[n]

(2)
a[n+1}+b[n+1]+c[n+1]=a[n]+b[n]+c[n]=1
a[n+1}=(1/2)(b[n]+c[n])=(1/2)(1-a[n])
a[n+1]-d=c(a[n]-d)とおくと
　c=-1/2,d-cd=1/2　⇒ d=1/3

a[n+1]-(1/3)=(-1/2)(a[n]-(1/3))
=(-1/2)^2*(a[n-1]-(1/3))
=(-1/2)^3*(a[n-2]-(1/3))
= …
=(-1/2)^n*(a[1]-(1/3)}
=(-1/2)^n*(1-(1/3))
=(-1)^n*(2/3)*1/2^n
∴a[n+1]=(1/3)+(-1)^n*(2/3)*1/2^n (n≧1)
a[n]=(1/3)+(-1)^(n-1)*(2/3)*1/2^(n-1)
　　=(1/3)-(-1)^n*(4/3)*1/2^n
=(1/3)-(4/3)*(-1)^n*(1/2)^n (n≧2)
a[1]=1
a[n]でn=1とおいてみると a[1]=(1/3)-(4/3)(-1)*(1/2)=(1/3)+(2/3)=1 となるので
a[n]=(1/3)-(4/3)*(-1)^n*(1/2)^n
の式に n=1の場合を含めることができる。

（答え）a[n]=(1/3)-(4/3)*(-1/2)^n (n≧1)

回答No.1

Tacosan

(1) 問題に書いてあることを式にする
(2) その漸化式を解く