どなたかこの数学の問題をお教えください。

質問

数列{An}、{Bn}を次のように定義する。 A1=0、B1=１とし、 (1)nが偶数のとき、An=(1/2){A(n-1)+B(n-1)}、 Bn=B(n-1) (2)nが奇数のとき(ただし、n≧3)、An=A(n-1)、 Bn=1/2{A(n-1)+B(n-1)} とする。(1)An-Bnを求めよ。(2)Anを求めよ。

という問題です。(1)は1/2^nという解答を導くことができたのですが、一方で(2)はAn-Bnをｎで表して(1)と連立させるのかと思ったのですが、うまくいきません。偶数奇数 で場合分けするのかなとも思ったのですが、 シックリ来ません。どなたか解き方をお教えく ださい。お願いします。

回答No.2

QoooL

(1)、間違えてますよ。
An-Bn＝-1/2^(n-1) ・・・式１
です。
-忘れですか？
きっと過程はわかってますよね。
奇数のときも偶数のときも
An-Bn＝A(n-2)-B(n-2)
そして
A1-B1＝-1
ですからね。

さて、
＞(2)はAn-Bnをｎで表して(1)と連立させるのか
An-Bnはもう、(1)でｎで表したじゃないですか。
An-Bn以外の式が必要です。

まず先に、A2、B2を先に求めておきます。
A2＝1/2
B2＝1

＞偶数奇数 で場合分けするのかな
そうです。
特性方程式と特性解　ってもう習っていますか？
とりあえず、全部書くとめちゃめちゃ長くなるので（横に長いだけで、式は数行）
簡単に流れだけ説明します。

nが奇数(n≧3)のとき
An+αBnとおいて、αを求めます。
An+αBn＝(1/2+(1/4)α)A(n-2) + (1/2+(3/4)α)B(n-2)
なんだかんだして
α^2-α-2＝0
α＝-1，2
α＝-1はAn-Bnのこと。
α＝2　の方を後で使います。

nが偶数(n≧4)のとき
An+βBnとおいて、βを求めます。
An+βBn＝(3/4+(1/2)β)A(n-2) + (1/4+(1/2)β)B(n-2)
なんだかんだして
2β^2+β-1＝0
β＝-1，1/2
β＝-1はAn-Bnのこと。
β＝1/2　の方を後で使います。

この２つさえ求められれば、後は与えられた式を代入して行くだけ。
nが奇数(n≧3)のとき
An+2Bn＝A(n-2)+2B(n-2) ・・・式２
（がんばって代入を２回繰り返して導いてください。）
式１と式２を連立して
An＝1/3{ 2-1/2^(n-2)} ・・・式３

n＝1を代入すると
A1＝1/3{ 2-1/2^(-1)}＝0
だから、式３はn＝1のときも成り立つ。

nが偶数(n≧4)のとき
An+(1/2)Bn＝A(n-2) + (1/2)B(n-2) ・・・式４
式１と式４を連立して
An＝1/3{ 2-1/2^(n-1)} ・・・式５

n＝2を代入すると
A2＝1/3{ 2-1/2^1}＝1/2
だから、式５はn＝2のときも成り立つ。

答えは式３(nは奇数)と式５(nは偶数)。

ちなみに、与式より
A3＝1/2
B3＝3/4
だが、
式２にn＝3を代入すると、Anの式（奇数）が正しいことが確かめられる。

同様に、
A4＝5/8
B4＝3/4
だが、
式５にn＝4を代入すると、Anの式（偶数）が正しいことが確かめられる。

奇数と偶数で、似ているけれども微妙に式が異なるからまとめられません。

少し難しいと思うでしょうが、一定レベル以上の大学では出されてもおかしくない問題です。

回答No.1

Tacosan

ん～, とりあえず n が偶数のときと奇数のときとで場合分けすればできますよね.