数学の問題が分かりません

質問

数学の問題が分かりません {an},{bn}を次のように定められた正の数とする。
a1=4,b1=2,a(n+1)=(an)^2bn,b(n+1)=an(bn)^2(n=1,2,3…)

(1)αn,βnをαn=log2an,βn=log2bn(n=1,2,3…)によって定めるとき、αn+βnをnの式で表せ。

(2)log2{a1(a2)^2(a3)^3……(an)^n}をnの式で表せ

詳しく解説お願いします！

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

対補足
(1)αn,βnをαn=log2an,βn=log2bn(n=1,2,3…)によって定めるとき、αn+βnをnの式で表せ。
＞{an},{bn}はa(n+1)=(an)^2bn,b(n+1)=an(bn)^2だから
a(n+1)=(an)^2bnの両辺をb(n+1)=an(bn)^2の対応する両辺で
それぞれ割ると左辺はa(n+1)/b(n+1)、
右辺は(an)^2bn/an(bn)^2=an/bnで、a(n+1)/b(n+1)=an/bn
となる。この式に(n=1,2,3…)を入れると
a1/b1=a2/b2=a3/b3=・・・・・=an/bn=a(n+1)/b(n+1)=・・・・・。
a1=4,b1=2だからa1/b1=4/2=2。従ってnの値にかかわらず
an/bn=2が成り立ち、an=2bnとなる。
これをb(n+1)=an(bn)^2に代入すると
b(n+1)=an(bn)^2=2bn(bn)^2=2(bn)^3となり
nをn-1に置き換えてbn=2b(n-1)^3の漸化式が得られる。
この式はnを1ずつ減らしていくと
bn=2b(n-1)^3
b(n-1)=2b(n-2)^3
b(n-2)=2b(n-3)^3
b(n-3)=2b(n-4)^3
・・・・・・・・・・・・・
b3=2b2^3
b2=2b1^3
となるので、一番目の式の右辺に二番目の式を代入すると
bn=2b(n-1)^3=2{2b(n-2)^3}^3=2*2^3*b(n-2)^(3^2)
この式の右辺に三番目の式を代入すると
bn=2*2^3*b(n-2)^(3^2)
=2*2^3*{2b(n-3)^3}^(3^2)=2*2^3*2^(3^2)b(n-3)^(3^3)
以下順番に一番下の式まで代入し続けると
bn=2*2^3*2^(3^2)*・・・・・*2^{3^(n-2)}*b1^{3^(n-1)}
となり、b1=2を代入すると
bn=2^{1+3+3^2+・・・・・+3^(n-2)}*2^{3^(n-1)}
=2^{1+3+3^2+・・・・・+3^(n-1)}=2^{(3^n-1)/2}
すなわちbn=2^{(3^n-1)/2}が得られ、an=2bnだから
an=2bn=2^{(3^n-1)/2+1}=2^{(3^n+1)/2}が得られる。
ここで問題のαn+βnを計算すると
αn+βn=log2an+log2bn=log2(an*bn)
上で得たan、bnから
an*bn=2^{(3^n+1)/2}*2^{(3^n-1)/2}=2^(3^n)
よって
αn+βn=log2(an*bn)=log2{2^(3^n)}=3^n・・・答
(2)log2{a1(a2)^2(a3)^3……(an)^n}をnの式で表せ
＞上で得たan=2^{(3^n+1)/2}から
log2an=log2[2^{(3^n+1)/2}]=(3^n+1)/2となる。
問題の与式log2{a1(a2)^2(a3)^3……(an)^n}は
=log2a1+2log2a2+3log2a3+・・・・・+nlog2anだから
nlog2an=n(3^n+1)/2をn=1からnまで加えた式であり、
与式=(3^1+1)/2+2{(3^2+1)/2}+3{(3^3+1)/2}+・・・・・+n{(3^n+1)/2}
(1/2)をくくり出して
与式=(1/2)[(3^1+1)+2{(3^2+1)}+3{(3^3+1)}+・・・・・+n{(3^n+1)}]
等差数列とその他の数列に分けて
与式=(1/2){(1+2+3+・・・・・+n)+(3+2*3^2+3*3^3+・・・・・+n*3^n)}
ここで1+2+3+・・・・・+n=n(n+1)/2、
3+2*3^2+3*3^3+・・・・・+n*3^n={(2n-1)*3^(n+1)+3}/4だから
与式=(1/2)n(n+1)/2+(1/2){(2n-1)*3^(n+1)+3}/4
={2n(n+1)+(2n-1)*3^(n+1)+3]/8・・・答

お礼

回答ありがとうございました！
一番わかりやすかったです！！

回答No.3

yyssaa

(1)αn,βnをαn=log2an,βn=log2bn(n=1,2,3…)によって定めるとき、αn+βnをnの式で表せ。
＞a(n+1)/b(n+1)=(an)^2bn/an(bn)^2=an/bn=4/2=2
an=2bn
b(n+1)=an(bn)^2=2bn(bn)^2=2(bn)^3
b(n)=2b(n-1)^3
b(n-1)=2b(n-2)^3
b(n-2)=2b(n-3)^3
・・・・・・・・・・・・・・
b(3)=2b(2)^3
b(2)=2b(1)^3だから
b(n)=2b(n-1)^3=2{2b(n-2)^3}^3=2*2^3*b(n-2)^(3^2)
=2*2^3*{2b(n-3)^3}^(3^2)=2*2^3*2^(3^2)b(n-3)^(3^3)
=2*2^3*2^(3^2)*・・・・・*2^{3^(n-2)}*b(1)^{3^(n-1)}
=2^{1+3+3^2+・・・・・+3^(n-2)}*2^{3^(n-1)}
=2^{1+3+3^2+・・・・・+3^(n-1)}=2^{(3^n-1)/2}
an=2bn=2^{(3^n-1)/2+1}=2^{(3^n+1)/2}
an*bn=2^{(3^n+1)/2}*2^{(3^n-1)/2}=2^(3^n)
αn+βn=log2an+log2bn=log2(an*bn)=log2{2^(3^n)}=3^n・・・答
(2)log2{a1(a2)^2(a3)^3……(an)^n}をnの式で表せ
＞log2an=log2[2^{(3^n+1)/2}]=(3^n+1)/2だから
log2{a1(a2)^2(a3)^3……(an)^n}
=log2a1+2log2a2+3log2a3+・・・・・+nlog2an
=(3^1+1)/2+2{(3^2+1)/2}+3{(3^3+1)/2}+・・・・・+n{(3^n+1)/2}
=(1/2)[(3^1+1)+2{(3^2+1)}+3{(3^3+1)}+・・・・・+n{(3^n+1)}]
=(1/2){(1+2+3+・・・・・+n)+(3+2*3^2+3*3^3+・・・・・+n*3^n)}
=(1/2)n(n+1)/2+(1/2){(2n-1)*3^(n+1)+3}/4
={2n(n+1)+(2n-1)*3^(n+1)+3]/8・・・答

お礼

回答ありがとうございます

補足

それぞれの式の目的とか、説明をしてくれると嬉しいです。

回答No.2

ohkinokomushi

an+1の式を(1)bn+1の式を(2)として

(1)(1)×(2)から置き換えてlog計算
(2)(1)÷(2)もやって連立方程式からαnを得る

と言う感じです

お礼

回答ありがとうございます

回答No.1

transcendental

与式の対数（底＝２）をとって、
α[n+1]＝２・α[n]＋β[n]、β[n+1]＝α[n]＋２・β[n]、
となり、これらを加えて、
α[n+1]＋β[n+1]＝３｛α[n]＋β[n]｝、これから、
α[n]＋β[n]＝｛α[1]＋β[1]｝・３＾（ｎ－１）＝（２＋１）・３＾（ｎ－１）＝３＾ｎ
これから、
（α[n]、β[n]）＝（（３＾ｎ＋１）/２、（３＾ｎ－１）/２）
を得ます。

（２）
（与式）＝∑[k=1 to n]ｋ・α[k]
ｋ・α[k]＝ｋ・（３＾ｋ＋１）/２＝（２・∑ｋ・３＾ｋ）＋（１/２）∑ｋ
＝（１/４）（ｎ－１/２）・３＾（ｎ＋１）＋３/８＋ｎ（ｎ＋１）/４．
-----------------------------
※　S＝∑ｋ・ｒ＾ｋは、S－ｒSを計算します。

お礼

回答ありがとうございます

補足

(1)は理解しました‼︎‼︎‼︎
(2)の説明をもう少し詳しくしてくれるとありがたいです