微分の質問です。

質問

途中式を書いてもらえると嬉しいです。 よろしくお願いします

線形方程式の初期値問題をラプラス変換してください。

１ d^2x/dt^2-3(dx/dt)-10x=0, x(0)=0 dx/dt(0)=7

2 d^2x/dt^2-4(dx/dt)+4x=0, x(0)=1 dx/dt(0)=0

3 d^2x/dt^2-3(dx/dt)+2x=e^3t, x(0)=1 dx/dt(0)=0

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>線形方程式の初期値問題をラプラス変換してください。

線形方程式を解くのではなく、ラプラス変換するだけでいいですか？

そうであれば
１
d^2x/dt^2 -3dx/dt-10x=0
ラプラス変換すると
　s^2 X(s) -s x(0) -dx/dt(0) -3{s X(s)-x(0)} -10X(s)=0
初期値x(0)=0, dx/dt(0)=7を代入すると
　s^2 X(s) -7 -3s X(s) -10X(s)=0
　(s^2　-3s-10) X(s) =7
　X(s)=7/(s^2　-3s-10)=7/{(s-5)(x+2)}

2
d^2x/dt^2 -4dx/dt+4x=0
ラプラス変換すると
　s^2 X(s) -s x(0) -dx/dt(0) -4{s X(s)-x(0)} +4X(s)=0
初期値x(0)=1, dx/dt(0)=0を代入すると
　s^2 X(s) -s -4s X(s)+4 +4X(s)=0
　(s^2　-4s+4) X(s) = s-4
　X(s)=(s-4)/(s^2 -4s+4)=(s-4)/(s-2)^2

3
d^2x/dt^2-3(dx/dt)+2x=e^(3t)
ラプラス変換すると
　s^2 X(s) -s x(0) -dx/dt(0) -3{s X(s)-x(0)} +2X(s)=1/(s-3)
初期値x(0)=1 dx/dt(0)=0 を代入すると
　s^2 X(s) -s -3s X(s)+3 +2X(s)=1/(s-3)
　(s^2　-3s+2) X(s) =s-3+ 1/(s-3)
　X(s)=(s^2 -6s+10)/(s^2 -3s+2)=(s^2 -6s+10)/{(s-1)(s-2)}

回答No.1

ereserve67

すべて

d^2x/dt^2+a(dx/dt)+bx=f(t), x(0)=x_0, (dx/dt)(0)=v_0

の形です．両辺をLaplace変換すると，x,fのLaplace変換をX,Fとして，

s^2X-sx_0-v_0+a(sX-x_0)+bX=F

(s^2+as+b)X=F+(s+a)x_0+v_0

X={F+(s+a)x_0+v_0}/(s^2+as+b)

(a,b,x_0,v_0,F)をそれぞれ

１．(-3,-10,0,7,0)

２．(-4,4,1,0,0)

３．(-3,2,1,0,1/(s-3))

とする．例えば３．の場合

X={1/(s-3)+s-3}/(s^2-3s+2)
={1/(s-3)+s-3}/{(s-1)(s-2)}
=1/{(s-1)(s-2)(s-3)}+(s-3)/{(s-1)(s-2)}
=(1/2){1/(s-3)}-1/(s-3)+(1/2){1/(s-1)}-1/(s-2)+2/(s-1)
=-1/{2(s-3)}+5/{2(s-1)}-1/(s-2)

∴x(t)=(-1/2)e^{3t}+(5/2)e^t-(1/2)e^{2t}

１，２も同様です．