三角関数が含まれた、線形常微分方程式の解法

質問

以下の線形常微分方程式を特殊解を用いない方法で解こうとしたところ解けなかったので、
どなたか解いてください。お願いします。

d^2x/dt^2+dx/dt=sint(t-1)(t+1)

回答No.3

hrsmmhr · ベストアンサー

∫(t^2-1)sintdt=-cost(t^2-1)+∫2tcostdt
=-cost(t^2-1)+2tsint-2∫sintdt
=-cost(t^2-1)+2tsint+2cost
=cost(3-t^2)+2tsint+C1

dx/dt+x=cost(3-t^2)+2tsint+C1
e^tをかけると
e^tdx/dt+xe^t=e^t{cost(3-t^2)+2tsint+C1}
∫e^tcostdt=e^tcost+∫e^tsintdt=e^t(cost+sint)-∫e^tcostdt
よって∫e^tcost=e^t/2(cost+sint)+C2
∫e^tsintdt=e^tsint-∫e^tcostdt=e^t(-cost+sint)-∫e^tsintdt
よって∫e^tsint=e^t/2(-cost+sint)+C3

∫te^tsint=te^tsint-∫(sint+tcost)e^tdt=te^tsint-te^tcost-∫te^tsint+∫e^t(cost-sint)dt
よって∫te^tsint=1/2{te^t(-cost+sint)+e^tcost}+C4
∫te^tcost=te^tcost-∫(cost-tsint)e^tdt=te^tcost+te^tsint-∫te^tcost-∫e^t(cost-sint)dt
よって∫te^tsint=1/2{te^t(cost+sint)-e^tcost}+C5
∫t^2e^tcostdt=t^2e^tcost-∫e^t(2tcost-t^2sint)dt
=t^2e^tcost-2∫te^tcostdt+t^2e^tsint-∫e^t(2tsint+t^2cost)dt
よって∫t^2e^tcostdt=1/2{t^2e^t(cost+sint)-2∫te^t(cost+sint)dt}
=1/2{t^2e^t(cost+sint)-te^tsint}+C6

xe^t=3e^t/2(cost+sint)-1/2{t^2e^t(cost+sint)-te^tsint}+{te^t(-cost+sint)+e^tcost}+e^tC1+C6
x=3/2(cost+sint)-1/2{t^2(cost+sint)-tsint}+{t(-cost+sint)+cost}+C1}+e^(-t)C6
=1/2(3-t^2)(cost+sint)+t(-cost+1/2sint)+cost+C1+e^(-t)C6

検算してません。疲れました。

回答No.2

alice_44

u = (e^t)(dx/dt) と置けば？

回答No.1

Tacosan

「特殊解を用いない方法」ってのはどういうものでしょうか?