微分の問題です

質問

途中式を書いてもらえると嬉しいです。 よろしくお願いします

線形方程式の初期値問題をラプラス変換でといてください。

１ d^2x/dt^2-3(dx/dt)-10x=0, x(0)=0 dx/dt(0)=7

2 d^2x/dt^2-4(dx/dt)+4x=0, x(0)=1 dx/dt(0)=0

3 d^2x/dt^2-3(dx/dt)+2x=e^3t, x(0)=1 dx/dt(0)=0

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

x"=d^2x/dt^2
x'=dx/dt
Lx(t)=F(s)
とすると
Lx'(t)=sF(s)-x(+0)
Lx"(t)=(s^2)F(s)-sx(+0)-x'(+0)

1
x"-3x'-10x=0
x(0)=0
x'(0)=7
Lx"-3Lx'-10Lx=0
(s^2)F(s)-sx(+0)-x'(+0)-3{sF(s)-x(+0)}-10F(s)=0
(s^2-3s-10)F(s)-7=0
F(s)=7/{(s-5)(s+2)}={1/(s-5)}-{1/(s+2)}
x(t)
=L^{-1}[{1/(s-5)}-{1/(s+2)}]
=L^{-1}{1/(s-5)}-L^{-1}{1/(s+2)}
∴
x(t)=e^{5t}-e^{-2t}

2
x"-4x'+4x=0
x(0)=1
x'(0)=0
Lx"-4Lx'+4Lx=0
(s^2)F(s)-sx(+0)-x'(+0)-4{sF(s)-x(+0)}+4F(s)=0
(s^2)F(s)-s-4{sF(s)-1}+4F(s)=0
(s^2-4s+4)F(s)-s+4=0
F(s)=(s-4)/(s-2)^2={1/(s-2)}-{2/(s-2)^2}
Lt=1/s^2
L(te^{2t})=1/(s-2)^2
x(t)=L^{-1}{1/(s-2)}-2L^{-1}{1/(s-2)^2}
∴
x(t)=(1-2t)e^{2t}

3
x"-3x'+2x=e^{3t}
x(0)=1
x'(0)=0
Lx"-3Lx'+2Lx=Le^{3t}
(s^2)F(s)-sx(+0)-x'(+0)-3{sF(s)-x(+0)}+2F(s)=1/(s-3)
(s^2)F(s)-s-3{sF(s)-1}+2F(s)=1/(s-3)
(s^2-3s+2)F(s)-s+3=1/(s-3)
F(s)=(s^2-6s+10)/{(s-3)(s-2)(s-1)}
=[1/{2(s-3)}]-{2/(s-2)}+[5/{2(s-1)}]
x(t)=(1/2)L^{-1}{1/(s-3)}-2L^{-1}{1/(s-2)}+(5/2)L^{-1}{1/(s-1)}
∴
x(t)=(1/2)e^{3t}-2e^{2t}+(5/2)e^t

回答No.3

info22_

#1です。

前回はラプラス変換する質問でした
　http://okwave.jp/qa/q7780252.html

が、今回はラプラス変換で解く質問となっていますので

改めて解答を書いてみます。

A#2とかぶりますが,
前回質問の#2の３の回答のX(s)の分母に(s-3)が抜けていましたので訂正して解答しておきます。

１
d^2x/dt^2 -3dx/dt-10x=0
ラプラス変換すると
　s^2 X(s) -s x(0) -dx/dt(0) -3{s X(s)-x(0)} -10X(s)=0
初期値x(0)=0, dx/dt(0)=7を代入すると
　s^2 X(s) -7 -3s X(s) -10X(s)=0
　(s^2　-3s-10) X(s) =7
　X(s)=7/(s^2　-3s-10)=7/{(s-5)(x+2)}
部分分数分解して
　　　=1/(s-5)-1/(s+2)
ラプラス変換公式を利用して、ラプラス逆変換すると
　∴x(t)= e^(5t) -e^(-2t) (t≧0)

2
d^2x/dt^2 -4dx/dt+4x=0
ラプラス変換すると
　s^2 X(s) -s x(0) -dx/dt(0) -4{s X(s)-x(0)} +4X(s)=0
初期値x(0)=1, dx/dt(0)=0を代入すると
　s^2 X(s) -s -4s X(s)+4 +4X(s)=0
　(s^2　-4s+4) X(s) = s-4
　X(s)=(s-4)/(s^2 -4s+4)=(s-4)/(s-2)^2
部分分数分解して
　　　=1/(s-2)-2/(s-2)^2
ラプラス変換公式を利用して、ラプラス逆変換すると
　∴x(t)=e^(2t)-2te^(2t)=(1-2t)e^(2t) (t≧0)

3
d^2x/dt^2-3(dx/dt)+2x=e^(3t)
ラプラス変換すると
　s^2 X(s) -s x(0) -dx/dt(0) -3{s X(s)-x(0)} +2X(s)=1/(s-3)
初期値x(0)=1 dx/dt(0)=0 を代入すると
　s^2 X(s) -s -3s X(s)+3 +2X(s)=1/(s-3)
　(s^2　-3s+2) X(s) =s-3+ 1/(s-3)
　X(s)=(s^2 -6s+10)/{(s^2 -3s+2)(s-3)}=(s^2 -6s+10)/{(s-1)(s-2)(s-3)}
部分分数分解して
　　　=(5/2)/(s-1)) -2/(s-2) +(1/2)/(s-3)
ラプラス変換公式を利用して、ラプラス逆変換すると
　∴x(t)=(5/2)e^t -2e^(2t) +(1/2)e^(3t) (t≧0)

回答No.1

info22_

以下で回答済みです。

http://okwave.jp/qa/q7780252.html

こちらの回答の#2をご覧ください。
解決したら質問を締めましょう。