微分方程式を解く問題が分かりません。

質問

微分方程式を解く問題が分かりません。

次の微分方程式が解けません。

{(d^2)x}/{d(t^2)}+2ε(dx/dt)+(ω^2)x=0

ただしε<ωとする。また初期条件をt=0でx=0、dx/dｔでv0とする。

が解けません。x=e^(αt)とおいて解いていくようなのですが・・・。

よろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

>x=e^(αt)とおいて解いていく

{(d^2)x}/{d(t^2)}+2ε(dx/dt)+(ω^2)x=0
に代入すると
α^2+2εα+ω^2=0
判別式
D/4=ε^2-ω^2<0
よって
p=(ω^2-ε^2)^0.5
とおくと
解は
x=ae^(-εt)sin(pt)+be^(-εt)cos(pt)
であらわされる。
t=0でx=0よりｂ＝0
x=ae^(-εt)sin(pt)
を微分して
dx/dt=a(-ε)e^(-εt)sin(pt)+ae^(-εt)pcos(pt)
t=0でdx/dｔ=v0
これよりap=v0
答え
x=v0e^(-εt)sin(pt)/ｐ