流線の求め方について

質問

2次元流れにおいて、以下の速度分布で与えられる場合、流線の方程式から流線を求めよ。

ただし、kは定数である。

u = ky , v = -kx

この問題の解き方を過程も含めて教えてください。

回答No.2

ereserve67

ANo.1です．補足について．

(u,v)は2次元流速度場ですよね．だから，これは流体要素の位置(x,y)の時間微分です．

u=dx/dt=ky
v=dy/dt=-kx

そこで

xdx/dt+ydy/dt=xu+yv

という量を計算してみる．（なぜかは計算してみて0になるのではないかと直感したからです．）まず左辺は

xdx/dt+ydy/dt=d(x^2/2)/dt+d(y^2/2)/dt

=d(x^2/2+y^2/2)/dt

次に右辺は

xu+yv=x(ky)+y(-kx)=k(xy-xy)=0

よって

d(x^2/2+y^2/2)/dt=0

(1/2)d(x^2+y^2)/dt=0

こうして

x^2+y^2=一定

となるわけです．

補足

u = kx , v = -kyのときは、

(x^2+y^2)/(x^2-y^2)=2k

ですか??

回答No.1

ereserve67

dx/dt=ky
dy/dt=-kx

∴xdx/dt+ydy/dt=kxy-kxy=0

(1/2)d(x^2+y^2)/dt=0

x^2+y^2=一定

よって原点の周りの同心円が流線になる．

※このことは3次元で考え，zを一定とし，vec(r)=(x,y,z)とおいて，

vec(v)=ke_z×vec(r)

となることからもわかる．なぜなら，vec(ω)=ke_zとおくと

dvec(r)/dt=ω×vec(r)　

これは角速度ωで回転する運動座標系に縛り付けられた物体の速度をあらわす式になる．

補足

解答ありがとうございます。

xdx/dt+ydy/dt=kxy-kxy=0

(1/2)d(x^2+y^2)/dt=0

x^2+y^2=一定

この式はどこから出てきたのですか??