複素関数(初学者、独学中)
(問題)
複素関数w=1/zにより、x=k(k=0,±1/2,±1,±2)はw平面上のどのような図形に写されるか、調べて図示せよ。zに共役な複素数を(z)*と書きます。
初学者なので、頓珍漢な質問をしていたらごめんなさい。
(解答)
z平面およびw平面は拡張された複素平面と考える。
ここで、z=x+yi(x,yは実数)とおくと、x={z+(z)*}/2より、x=k(k=0,±1/2,±1,±2)はk={z+(z)*}/2すなわちz+(z)*=2k(k=0,±1/2,±1,±2)(1)と表される。
(ア)k=0のとき、(1)はz+(z)*=0(1)´。複素関数w=1/zより、z=1/w(2)
(2)を(1)´に代入して、1/w+1/w*=0
(解答続く)
(疑問)
(2)の部分についてですが、
w=1/z、z=1/wの分母のz,wがそれぞれ0になる場合については高校数学の軌跡では別に議論しなくてはなりませんでしたが、複素数ではz、wが0になる場合それぞれw、zは無限遠点となるので、解答では触れられていません。★図示の部分ではz=0のときのw平面の写像は無限遠点に、z=無限遠点のときのw平面の写像は0にそれぞれ写っています。
高校数学の時の癖で、分母が0の時の議論には注意しようとしてしまい、いちいち★のようにそれぞれの点の移り変わりを意識してしまうのですが、とくに気にせず式変形をして得られた軌跡を図示すればよいのでしょうか?(皆さんは★のようなことを意識するのでしょうか?)
お礼
回答ありがとうございます。 ポテンシャルと流線の関係は直交することですよね。 教科書にこの問題がのていたので解答はわかりました。どうもありがとうございます。