流線の問題です

質問

u=U+ax/x^2+y^2
v=ay/x^2+y^2
Uとaは正の定数になっており、点(0,πa/2U)での流線を求める問題です。
いつも通り変数分離微分方程式で解こうにも分離出来ず、極座標を用いるにはdx、dyの表し方がいまいち分かりません。アプローチの仕方で良いのでご教授していただける方はいませんか。
よろしくお願いします。

回答No.3

gamma1854

※ dx/u=dy/v を他siteにて確認しましたので、そう解釈し、
書かれている２式、
u=U + ax/(x^2+y^2), v=ay/(x^2+y^2) を代入して一階の微分方程式を解きました。
--------------------------
dx/u=dy/v を極座標に変換して整理し、
U*sinφ*dr + (U*r*cosφ + a)*dφ=0 , (完全微分形)から、
U*r*sinφ + a*φ = C. (C:任意定数)
なる一般解を得ました。

お礼

何度も質問に答えていただき本当にありがとうございます。
全微分で極座標に変換するのは理解できたのですが、そこから一般解にするにはどのような方法を用いたのでしょうか？

回答No.2

gamma1854

うっかり計算ミスをしましたので、以下のように訂正します。失礼しました。
dx/u=dy/v を極座標に変換して、
U*sinφ*dr + (U*r*cosφ + a)*dφ=0 から、
U*r*sinφ + a*φ = C. (C:任意定数)

補足

返答ありがとうございます。
この解答でなぜ偏微分が出てこないのでしょうか？

回答No.1

gamma1854

まず、数式を「一行表示」するとき、
u=U + ax/(x^2+y^2) .... 要かっこ！
v=ay/(x^2+y^2) ... 同上！
です。この意味で書いていると考えます。
-------------------
● dx/u = dy/v を極座標で表して、
dr/dφ + cotφ*r = (a/U)*(cosφ+sinφ).
なる一階の線形方程式となり、この一般解は、
r(Φ) = (a/(2U))*【{Φ - (1/2)sin(2φ) - (1/2)cos(2φ)}/sinφ】+ C/sinφ.
です。(C : 任意定数).
初期条件を代入し、定数Cを決定してください。

お礼

質問の返信ありがとうございます。
一行表示の仕方も教えて頂きありがとうございます。
解答の流れは掴めたのですが、dr/dφを表す方法も教えていただけませんか？
極座標表示にするとxとyはrとφの二変数関数になり、偏微分の形になると思うのですが、今回はdr.dφで良いのでしょうか？
何度も質問申し訳ないです。