数学の問題が分かりません。

質問

以下の問題です。

Show that if ab ≡　1　(mod m) , then ord_m a = ord_m b.

訳　ab ≡　1　(mod m)　ならば、ord_m a = ord_m b　であることを示せ。

この証明の問題を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

ab=1(mod m)
n=ord_m.a
k=ord_m.b
とすると
a^n=1(mod m)
b^k=1(mod m)
b^n=(a^n)(b^n)=(ab)^n=1(mod m)
a^k=(a^k)(b^k)=(ab)^k=1(mod m)
だから
ord_m.b≦n=ord_m.a
ord_m.a≦k=ord_m.b
∴
ord_m.a=ord_m.b

お礼

回答ありがとうございます。
おかげで助かりました。