数学の問題！

質問

a＋b＋c=ab＋bc＋ca=3のとき、a,b,cは全て1である事を証明せよ

回答に
Q=(a-1)'2＋(b-1)'2＋(c-1)'2とすると
から始まるんですが
これはQ=(a-1)＋(b-1)＋(c-1)
ではだめなんでしょうか？

解説お願いします！

回答No.3

ferien · ベストアンサー

a＋b＋c=ab＋bc＋ca=3のとき、a,b,cは全て1である事を証明せよ

回答に
Q=(a-1)'2＋(b-1)'2＋(c-1)'2とすると
から始まるんですが
>これはQ=(a-1)＋(b-1)＋(c-1)
>ではだめなんでしょうか？

Q=(a-1)^2＋(b-1)^2＋(c-1)^2=0　を証明するためにこの形にしています。
(a-1)^2≧０，(b-1)^2≧０，(c-1)^2≧０なので、
右辺＝０になるためには、(a-1)^2＝０かつ(b-1)^2＝０かつ(c-1)^2＝０　つまり
ａ－１＝０かつｂ－１＝０かつｃ－１＝０でなければならないからです。
これから、a,b,cは全て1である　が証明できます。

Q=(a-1)^2＋(b-1)^2＋(c-1)^2
＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2－２（ａ＋ｂ＋ｃ）＋３
条件の式を代入して
＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2－２（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＋３
ある公式を使って式変形します。（考えて下さい）
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）^2－４（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＋３
条件の式を代入して
＝３^2－４・３＋３
＝０
右辺＝０だから、
ａ－１＝０かつｂ－１＝０かつｃ－１＝０でなければならない

よって、ａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝１

条件の式がどのように使われているか考えて下さい。

お礼

遅くなってごめんなさい
皆さん詳しく回答していただきありがとうございます

回答No.7

mister_moonlight

c=3-(a＋b)を　ab＋bc＋ca=ab＋c(a＋b)＝3　に代入して整理すると(aかbの方程式と見る)、a＾2-(3-b)a+(b＾2-3b＋3)＝0　‥‥(1)
aは実数から、判別式≧0　→　3*(b-1)＾2≦0　従って、bは実数から　b-1＝0.
これを(1)に代入すると　a＝1　従って　c＝1.

この解が理解できれば、その模範解答の意味も理解できるだろう。

回答No.6

mister_moonlight

その回答は、余りほめられたものじゃないな。
等式や不等式の証明は、着想が勝負を決める場合が多い。
従って、引き出し　をたくさん持っていなければならない。

文字は全て実数とすると　絶対不等式：(a＋b＋c)＾2≧3(ab＋bc＋ca)‥‥(1)が成立する。(この証明は、教科書に載ってるだろう。左辺にまとめて、平方完成すると良い)
等号は、a＝b＝c　の時。
ところが、条件　a＋b＋c=ab＋bc＋ca=3　より　これは　(1)において　等号の場合である。
従って、a＋b＋c＝3　で　a＝b＝c　だから　a＝b＝c＝1.

回答No.5

noname#152422

すみません、A.No.4の最初の式の左辺は
「Q^2」となっていますが、「Q」の間違いでした。
ごめんなさい。

回答No.4

noname#152422

> なんで二乗だと証明が出来て

A.No.2に書いたように、

Q^2=(a+b+c)^2-s(ab+bc+ca)-2(a+b+c)+3
=3^2-2x3-2x3+3
=0

になるわけですが、(a-1)^2と(b-1)^2と(c-1)^2のどれかが0でないものがあるとすると、Q>0（Q=0にならない）となって矛盾してしまうので、(a-1)^2も(b-1)^2も(c-1)^2も全部0にならなければならない。

つまりはa=b=c=1なわけです。
二乗だと証明できるということがこれでわかる。

ところで、

> (a-1)＋(b-1)＋(c-1)だと証明が出来ないのかがわかりません＞＜

という疑問なんですけど、これはあなたがそうしたいと思ったのであって私にはどうやってやるのかわかりません。

素直に計算してみると、

(a-1)＋(b-1)＋(c-1)=(a+b+c)-3=0ですが、これだけだとa=b=c=1とはいえません。
たとえば、a=100、b=-100、c=3とかでも(a-1)＋(b-1)＋(c-1)=0を満たしますしね。

あなたのアイディアなので、証明できるとしたらアナタしかいない（笑）。
実際こう置いて、その後どうしようと思ったのですか？

回答No.2

noname#152422

2乗の和にしているのは、a,b,cが実数のときQ=0からa-1=b-1=c-1=0が直ちにいえるから。

> Q=(a-1)＋(b-1)＋(c-1)
> ではだめなんでしょうか？

別にいいけど、そのあとどう証明するんです？

補足

なんで二乗だと証明が出来て(a-1)＋(b-1)＋(c-1)だと証明が出来ないのかがわかりません＞＜
よければ説明していただけると嬉しいです。

回答No.1

noname#146604

証明できれば、それでもいいです。証明できるならね

＞Q=(a-1)'2＋(b-1)'2＋(c-1)'2とすると

解説でこのようにおいているのは、ab+bc+caを見越してのことです。