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大学の数学の問題

かなり難しく困っております。ぜひよろしくお願いします。 1: dimR^n=n 2: dimC^n=n 3: Show that Ψ・φ:U→W is a linear map if φ:U→V and Ψ:V→W are linear maps. 4: Let a map φ:U→V be an isomorpism, and let a set(e1,...,ek),eiEU be linearly independent. Then show that a set (e"1,...,e"k),e"i=φ(ei)EV is linearly independent.

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回答No.1

[1および2] 各々R上、C上の次元と解釈します。 どちらも標準基底 e_1=(1,0,...,0), e_2=(0,1,0,...,0), ... , e_n=(0,...,0,1) がとれるので次元はnです。 (1と2で同じe_iという記号を使用するのは望ましくないですが) もう少し詳しく書くなら、{e_i}が確かに基底になっていることを書けばよく、 ・R^nまたはC^nの全ての元は、RまたはC上、{e_i}たちで張られる ・RまたはC上、{e_i}たちは1次独立である ことを証明すればOKです。 どちらも定義から簡単に示せますので、必要ならやってみてください。 ※係数体が明らかでない場合は、どの体の上で次元を考えるかを明示する必要があります。 例えば、CはRの拡大体ゆえ、C^nはR上のベクトル空間とも見なせるわけです。 このとき、dim_C C^n=nですが、dim_R C^n=2nとなります。 [3] linearの定義を確かめればよく、 Ψ・φ(v+w) = Ψ(φ(v+w)) = Ψ(φ(v)+φ(w)) = Ψ(φ(v))+Ψ(φ(w)) = Ψ・φ(v)+Ψ・φ(w) Ψ・φ(kv) = Ψ(φ(kv)) = Ψ(kφ(v)) = kΨ(φ(v)) = kΨ・φ(v) から、Ψ・φのlinearityが分かります。 [4] φがisomorphismゆえ、特に単射(injection)であることを利用します。 {e''_i}たちが1次従属であると仮定すると、 全て0ではないa_1, a_2, ..., a_kが存在して (a_1)(e''_1) + (a_2)(e''_2) + ... + (a_k)(e''_k) = 0 と書くことができます。e''_iたちの定義から、これは (a_1)(φ(e_1)) + (a_2)(φ(e_2)) + ... + (a_k)(φ(e_k)) = 0 と同値であり、さらにφのlinearityより φ( (a_1)(e_1)+(a_2)(e_2)+...+(a_k)(e_k) ) = 0 が分かります。φは同型ゆえ、特に単射ですから、これより (a_1)(e_1)+(a_2)(e_2)+...+(a_k)(e_k) = 0 となり、これは{e_i}が1次従属であることを意味しますが、これは仮定に反します。

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