数学1A の問題です。困っています。

質問

a =√m -√m -1 、b =√n -√n -1 とし、m.nは正の整数とする。
S = ab + a/b + b/a + 1/ab とおく。また、
T = a^2b^2 + a^2/b^2 + b^2/a^2 + 1/a^2b^2 とおく。
T + 300 = 2S^2 を満たすm,n の値は？。

困っています。宜しくお願い致します

回答No.3

suko22 · ベストアンサー

SとTを使いやすいように変形してみます。

S=ab+a/b+b/a+1/ab
=a(b+1/b)+(1/a)(b+1/b)
=(a+1/a)(b+1/b)

T=a^2b^2+a^2/b^2+b^2/a^2+1/a^2b^2
=a^2(b^2+1/b^2)+(1/a^2)(b^2+1/b^2)
=(a^2+1/a^2)(b^2+1/b^2)
={(a+1/a)^2-2}{(b+1/b)^2-2}
=(a+1/a)^2(b+1/b)^2-2(a+1/a)^2-2(b+1/b)^2+4

ここで、
a+1/a=√m-√(m-1)+1/(√m-√(m-1))
=√m-√(m-1)+√m+√(m-1)　（←有理化）
=2√m

b+1/b=2√n　（←上記同様の計算のため省略）

これらをS,Tに代入すると、
S=2√m*2√n=4√mn

T=4m*4n-2*2m-2*2n+4=16mn-4m-4n+4

T+300=2S^2にそれぞれ代入すると、
16mn-4m-4n+4+300=2*16mn
16mn+4m+4n=304
4mn+2m+2n=76
(2m+1)(2n+1)-1=76
(2m+1)(2n+1)=77

m,nは正の整数だから、2m+1,2n+1は3以上の正の整数。
よって、(2m+1,2n+1)=(7,11),(11,7)
ゆえに、(m,n)=(3,5),(5,3)

回答No.2

alice_44

いやぁ、これは
a = √m - √(m-1), b = √n - √(n-1)
でしょ。おそらく。
数1A とのことだし、対称式の問題に違いない。

補足

その通りです。わかりにくくてすいません。

回答No.1

Tacosan

これって, a も b も (m や n とは全く無関係に) -1 じゃないの?

補足

わかりにくくてすいません。-1も√ の中に入ってます。