多項定理の無限大への拡張

質問

大学一年生です。
多項定理を無限大の場合に拡張して、
(Σ[n=1,∞]b_n*x^n)^k=(b_1*x+b_2*x^2+…)=Σ[n=1,∞]c_n*x^nとおいたとき、c_nを求めたいのですが、どう解けばいいのか分かりません。方針だけでも、どなたかお願いします。

回答No.7

ramayana

「形式べき級数は、体にならないような」（ANo.6さん）

そうですね。ふつう「べき級数」というと、0または正数べきを想定するので、環にしかなりません。ANo.5では、「べき級数環」あるいは、「有限個の負べきを許す、べき級数全体から成る体」とでも言うべきでした。

回答No.6

alice_44

形式べき級数は、体にならないような気がするが。

回答No.5

ramayana

基本的には、前の回答者さんたちと同じです。その上で、もし、係数 c_n を具体的に計算したいなら、漸化式で表現するのが便利です。

まず、c_n は、本当は k にも依存するので、c[k,n] と記すことにします。また、見栄えを良くするため、 n を0から始めることにします（1から始めたいなら、b_0 = 1 とすればよい）。すると、 k ≧ 1のとき、

Σ[n=0,∞]c[k,n]*x^n = (Σ[n=0,∞]b_n*x^n)^k = (Σ[n=0,∞]b_n*x^n)×(Σ[n=0,∞]b_n*x^n) ^(k-1) = (Σ[n=0,∞]b_n*x^n) ×(Σ[n=0,∞]c[k-1,n]*x^n) =Σ[n=0,∞]( Σ[i=0,n]b_i*c[k-1,n-i])*x^n

なので、両辺のx^nの係数を比較して、

（１）　c[k,n] = Σ[i=0,n]b_i*c[k-1,n-i]

となります（注）。

k=0のときは、c[0,0] = 1、c[0,n] = 0 （for n≧1）です。あとは、（１）式を使って、k = 1, 2, 3, ・・・と順々に計算していくことができます。

いくつか例を挙げます。

c[1, n] = b_n （for n ≧ 0）
c[2, 0] = (b_0)^2
c[2, 1] = 2 b_0*b_1
c[2, 2] = 2 b_0*b_2 +( b_1)^2
c[3, 0] = (b_0)^3
c[3, 1] = 3(b_0)^2*b_1
c[3, 2] = 3( b_0)^2*b_2 +3b_0( b_1)^2

（注）上の計算で、

（２）　「２つの無限べき級数が等しいなら、それぞれの係数が等しい」

という事実を使いました。もし、係数が複素数で、x が収束半径内なら、「べき級数として等しい」ということと「関数として等しい」ということが同値なので、両辺を何回か微分して（２）を証明できます。

しかし、理論の簡便性を狙うなら、すべてを「べき級数体」の中での議論とする方が、すっきりするでしょう。そうすれば、（２）は当たり前であり、かつ、級数が収束するかどうかに関わりなく上の議論が正しいことになります。

回答No.4

alice_44

べき級数は、収束円内では、絶対収束するので、
項順の変更や部分級数の極限を再総和することが
有限和と同様に許されます。
x が Σ[n=1,∞]b_n*x^n の収束円内にあれば、
No.1 のように素直に計算すれば ok です。

回答No.3

k3eric

こんな感じになると思います。
https://pbs.twimg.com/media/A58fi5LCMAA5RGd.jpg:large

回答No.2

kabaokaba

NO.1さんと同じですが・・・

級数のコーシー積というのを勉強すると幸せになれるかもしれません．
e^x e^y = e^{x+y} の級数による証明あたりが理解の助けになります．

ほかには・・・母関数というのを勉強してみるといいかもしれません．
組合せの問題を関数の級数展開を用いてとくことができますが
そのときの関数を母関数といいその級数展開の処理に級数の積をよく使います
1/(1-x)^2 = 1/(1-x) * 1/(1-x)
1/(1-x) = 1+x+x^2+x^3+・・・（等比級数）
によって 1/(1-x)^2 の級数展開をするような感じで組合せの問題をときます．
具体的にはコーシー積で計算します

回答No.1

noname#163983

便宜上b_0=0とします。
仮にΣ[n=1,∞]b_n*x^nが絶対収束しているとして、

(Σ[n=1,∞]b_n*x^n)^k
=(Σ[n=0,∞]b_n*x^n)^k
=(Σ[n[1]=0,∞]b_n[1]*x^n[1])(Σ[n[2]=0,∞]b_n[2]*x^n[2])…(Σ[n[k]=0,∞]b_n[k]*x^n[k])
=Σ[n=0,∞](Σ[n[1]+n[2]+…+n[k]=n]b_n[1]*b_n[2]*…*b_n[k])*x^n

ではマズイのでしょうか？