この定理の名称を教えてください

質問

以前何かの本で見かけてうる覚えなのですが多分

「∀k∈Nに対して,複素関数列f_kは開領域D(⊂C)で正則であるとする。この時,
{Σ_{k=0}^n|f_k(z)|;n∈N}が有界⇒Σ_{n=0}^∞f_n(z)はDで正則」

だったと思うのですがこの定理は"有界収束定理"と呼ばれるものなのでしょうか?

回答No.1

ramayana

記号の意味がよく分かりませんが、Σ_{k=0}^nを「kが0からnまで動くときの総和」を表すと解釈して回答します。

　ご質問の命題は、「Weierstrass（ワイエルシュトラス）の定理の系」ともいうべきものでしょう。Weierstrassの定理は、複素関数論の基本定理のひとつで「正則関数列が一様収束した極限は正則関数である」ことを示したもので、次のように述べられます（本当はもう少し強い内容ですが、分かりやすくするため若干弱い内容にしてあります）。

「領域Dで定義された関数Fと正則関数の無限列F1、F2、… とがあって、D内の任意のコンパクト集合でF1、F2、… がFに一様収束するなら、Fは正則である。」

　ご質問のΣ_{k=0}^nf_k(z)をFnと置けば、仮定によりF1、F2、… はいわゆるCauchy列になるので、Dで一様収束します。したがってWeierstrassの定理により、その極限が正則であることが言えるのです。

　なお、有界収束定理は、ルベーグ積分論で現れる定理です。