二項定理の多項定理

質問

二項定理を使った問題の解法を教えてください。

多項定理です。

「同じものがあるときの順列」で考えると
(a+b+c)^n を展開したときの，a^p b^q c^r の項は，
a を p 個，b を q 個，c を r 個
選んでかけ合わせたものである。

ーーここまでは理解できたのですがーー

上記より、それらを並べ替えてできる順列の 総 数 が
項の係数になる。

というのが理解できません。

教えてくださいｍ(＿)ｍ

cf.

n !
────通り
p !q !r !

回答No.3

noname#108210 · ベストアンサー

(a+b+c)^n は
因数(a+b+c)がn個掛け合わされたものです。
これらの因数の場所を，
１，２，３，‥‥ｎ　としてみます

p個のaを，取り出した因数の場所に置いてみます。
同様に，q個のb，r個のcも置いてみます。

このときのa,b,cの置き方は，幾通りもありますが，
この置き方の総数が項の個数を表し，
a^p・b^q・c^rの係数となります。

>上記より、それらを並べ替えてできる順列の 総 数 が
>項の係数になる。
は，このことを述べています。

この数を計算すると，n個のものの順列 n! を考えますが，
p個のa，q個のb，r個のcはそれぞれ区別のつかない
ものですから，p!, q!, r! で割ります。それが，

n !
────通り
p !q !r !

です。

お礼

なるほど～ありがとうございました！！

回答No.2

kabaokaba

順列の総数が1なら，一個しかa^p b^q c^rの項が出てこないので係数1
たとえば，a^nb^0c^0 の項だ．
総数が2なら・・・二個でてくるので係数は2

ここでやってる計算は
(a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2
のように分配法則だけを地道につかって
しかも同類項をまとめるという操作を途中で一切しない
というような計算を先にやって，
同じ項が何個あるかを後から数えるというような計算の仕方．
n個の中から p を取り出して，残った中からqを取り出すのだから
nCp x (n-p)Cq
=
n!/(p!(n-p)!) x (n-p)!/q!(n-p-q)
=
n!/(p!q!r!)

ちなみに・・・公式を使いつつ計算する方針でいくなら
二項定理をつかっていけばいい．
(a+b+c)^n = ( (a+b)+c )^n
とみなして，a^pb^qc^rの項の係数は
nCr (a+b)^R c^r からでてくる（R=n-r）わけで
さらに a^p b^q (p+q=R)の係数を考えると
RCq がでてくることになって
結局，a^pb^qc^rの係数は
nCr RCq (R=n-r=p+q)
これを計算すると
n!/(r!(n-r)!) x R!/(q!(R-q)!)
=
n!/(r!(n-r)!) (n-r)!/(q!p!)
=
n!/(p!q!r!)

めでたしめでたし．

お礼

ありがとうございました！！

回答No.1

Tacosan

順列の「総数」でもいいけど「個数」のほうがよりはっきりしているような気がする.
n が 3 か 4 くらいで地道に全部展開してみればわかるかと.
ああ, 「二項定理」がどこにも出てこない....