補間多項式

質問

「相異なる点、x_0,x_1,・・・・,x_nに対して、任意の実数y_0,y_1,・・・,y_nがある。そのときp_n+1(x_i)=y_i(i=0,1,・・・,n)を満たす高々n+1次の補間多項式p_n+1がただ一つ存在する。」は真か偽を判定する問題です。考えたのですが偽でしょうか？定義は「与えられた関数y=f(x)に対して、相異なる点x_0,・・・,x_n-1（この点を標本点という）について、y_k=f(x_k),k=0,1,・・・,n-1とおく。このとき高々n-1次多項式p(x)としてp(x_k)=y_k,k=0,1,・・・,n-1となるものがある」理由はやはり高々n+1次というところが定義からづれているからです。しかし根拠が示せないので、アドバイスありましたら嬉しいです・・・

回答No.5

noname#101087

>n=1の場合の反例みたいなのを挙げて ....

ヤッパリ「高々n-1次」ですかね。コロコロ変わりすみません。
以下も、今までの繰り返し。

n=0の場合
　　p(x_0)=y_0( を満たす 0 次の補間多項式 p_0(x) =y_0 は一意的。

これに、
　　(x-x_0)*q(x)　　<< q(x) は0次以上の任意多項式 >>
を掛けた 1 次以上の多項式を加えた
　　Q(x) = y_0 + (x-x_0)*q(x)
も、問題の条件
　　Q(x_0)=y_0
を満たしている。

例えばQ_1(x) = y_0 + k*(x-x_0)

回答No.4

noname#101087

>相異なる点、x_0,x_1,・・・・,x_nに対して、任意の実数y_0,y_1,・・・,y_nがある。そのときp_n+1(x_i)=y_i(i=0,1,・・・,n)を満たす高々n+1次の補間多項式p_n+1がただ一つ存在する。
>..... どのように偽と示せばよいのでしょうか？

実際は、
　　p_n(x_i)=y_i(i=0,1, .... ,n)を満たす高々 n次の補間多項式p_nがただ一つ存在する。
ですね。
でも、高々 n+1次の補間多項式 p_n+1 がただ一つ存在する」とは、どこかが違います。

たとえば、p_n(x_i)=y_i(i=0,1, .... ,n)を満たす高々 n次の補間多項式 p_n(x) に (x-a) を乗じて作った n+1次の多項式
を p_n+1(x) とします。(a は任意の実数)
明らかに、p_n+1(x) はもとの問題の条件を満たしており、無限個存在します。

「高々 n+1次」を n+1次以下(次数≦n+1)と解釈すればのハナシです。

お礼

ありがとうございます。明らかに偽というのは理解できました！
もしよろしければn=1の場合の反例みたいなのを挙げていただければ幸いです。すいません。。。

回答No.3

noname#101087

#2 です。
点数を見逃してまして、訂正。

相異なる(n+1)個の点ですね。
「高々n次」が一意的。
それを超えていいのなら、その(n+1)個の点で零になるn次を超える多項式も題意を満たし、非一意的。

... でした。

お礼

ありがとうございます。でもどのように偽と示せばよいのでしょうか？すいません浅はかで・・・

回答No.2

noname#101087

「高々n+1次の補間多項式」の中で怪しいのが「高々n+1次」。
「高々n-1次」のような気がする。

二つの多項式
　P(x)=p(n-1)*x^(n-1)+p(n-2)*x^(n-2)+ ..... +p(1)*x+p(0)
　Q(x) q(n-1)*x^(n-1)+q(n-2)*x^(n-2)+ ..... +q(1)*x+q(0)
がどちらも題意を満たすとすると実は両者が同じ、ということを示せませんか ?

回答No.1

Tacosan

下の「定義」の意味が理解できない (日本語もちょっとおかしい気がする) んだけど, それはさておいて:
前者のような多項式が 1つあるとして, 「他にもある」ことを示すのが普通ですね.
任意の (0 でない) 定数 a に対して a(x - x0)(x - x1) ... (x-xn) は n+1 次式だってことに注意.

お礼

ありがとうございます。定義ですか？？ここは写した箇所なんで・・・・どのように偽と示せばよいのでしょうか？よくわかりません。。。