高校の解の存在の問題

質問

3次方程式x^3－x^2＋px＋q＝0が相異なる3つの正の解をもつ実数ｐ、qの条件を求めたいのですが・・・。
極大、極小をとるｘの値をα、βとすると計算があふれてしまいます。

なにかいい方法ないでしょうか。

回答No.5

mister_moonlight · ベストアンサー

書き込みミス。

(誤)　従って　(極大値)*(極小値)＜0　→　(4px＋q+p＾2/9)*(4px＋q+p＾2/9)＜0。これを展開して、α＋β＝2/3、αβ＝p/3　を代入するだけ。

(正)　従って　(極大値)*(極小値)＜0　→　(4pα＋q+p＾2/9)*(4pβ＋q+p＾2/9)＜0。これを展開して、α＋β＝2/3、αβ＝p/3　を代入するだけ。

お礼

ありがとうございました。

グラフをかいてみると、明白でした。

回答No.4

mister_moonlight

解と係数から、3解の和＝1＞、2解ずつの和＝p＞0、3解の積＝-q＞0.　よって、p＞0、q＜0　‥‥(1)
これで3つの解が全て正であることは示せる。今度は、相異なる3つの実数解の条件を求める。
f(x)＝x^3－x^2＋px＋q＝0とすると、微分して　f´(x)＝3x^2－2x＋p＝0が異なる2つの解α、βをもつから
判別式＞0　つまり　1-3p＞0　‥‥(2)　で(極大値)*(極小値)＜0。

但し、(極大値)*(極小値)＜0の計算は　考えないと面倒な事になる。恒等式を使おう。

x^3－x^2＋px＋q　を　3x^2－2x＋p　で割ると、x^3－x^2＋px＋q＝(3x^2－2x＋p)*(x/3-p/9)＋(4px＋q+p＾2/9)＝(4px＋q+p＾2/9)。
従って　(極大値)*(極小値)＜0　→　(4px＋q+p＾2/9)*(4px＋q+p＾2/9)＜0。これを展開して、α＋β＝2/3、αβ＝p/3　を代入するだけ。
それに　(1)と(2)を加味したものが答。実際の計算は　自分でやって。

回答No.3

B-juggler

この方は丸投げしてる方じゃないね

先生が書いてあるけれど、もうちょっと簡単に見てみてもいいかな？

学習機会を奪うようで、ちょっと気にはなるけれど。

多分グラフを書かれてないと思うんです、質問者さんが。

ｘ＾３　の係数は　１　ですから　このグラフは

　＃下に絵を書きますけど

見てのとおりしかないんです。

微分しますね。　＝０　とやったときｘの値で極値を取るね。

極値が当然二つでるよね。二次方程式になるんだからね。

ｘが小さい方の極値が、絵で書いてる青い点になる。

同様に、ｘが大きいほうの極値が　赤い点になりますね。

　＃分からなかったらまた下さいよ～。

後は題意に沿えばいいんじゃないかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

Ａｌｉｃｅ　先生や、あなたのような質問者さん見ると、安心できるね＾＾；

ちょっと丸投げひどいねこの頃・・・。

もう一個の条件：ｘ＝０のとき、ｙの値が○○　でないといけない・・・。

こういうのは勘でしかないよ＾＾；

回答No.2

alice_44

y = -xxx+xx と y = px+q の交点を求める
と考えてみては、どう？
y = -xxx+xx の変曲点での接線の傾きと
p の大小を比べて場合分けし、
交点が 3 個になるような q の範囲を
p の値ごとに求める。
場合分けした理由は、グラフを書いてみれば判る。

回答No.1

asuncion

＞計算があふれてしまいます。

どういった意味でしょうか。