ベクトル（数Ｂ）の問題教えてください

質問

平行四辺形ＯＡＢＣの辺ＯＡを１：３に内分する点をＤ，対角線ＡＣと線分ＤＢの交点をＰ，直線ＯＰと辺ＡＢとの交点をＱとする。
　OPベクトルをOAベクトル、OCベクトルを用いて表せ。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

△ADP∽△CBP
相似比AD/CB=AD/OA=3/(1+3)=3/4
∴AP/PC=3/4
Pは線分ACを3:4に内分する点であるから
OP↑=(4OA↑+3OC↑)/(3+4)=(4/7)OA↑+(3/7)OC↑
（ベクトルを↑を付けて表す。）

参考URL：

http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6615

お礼

早い回答ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

淡々と、型通りに処理しよう。
何も考えずにただ計算するのが、ベクトル幾何の流儀。

線分 MN を a:b に内分する点が L なら、
ベクトルOL = (b/(a+b))ベクトルOM + (a/(a+b))ベクトルON.
これは覚えておくべき式だが、確認したければ、
ベクトルML = (a/(a+b))ベクトルMN を変形して導ける。
t = a/(a+b) と置けば、直線のパラメータ表示になるし、
更に M = O とすれば、原点を通る直線も扱える。

この一本の公式を使って…
ベクトルOD = (1/4)ベクトルOA,　　　　　　　　…[1]
ベクトルOP = (1-s)ベクトルOA + sベクトルOC,　…[2]
ベクトルOP = (1-t)ベクトルOB + tベクトルOD.　…[3]
ベクトルOQ = uベクトルOP,　　　　　　　　　　…[4]
ベクトルOQ = (1-v)ベクトルOA + vベクトルOB.　…[5]

また、OABC が平行四辺形であることより、
ベクトルOB = ベクトルOA + ベクトルOC.　　　　…[6]

[2][3] から ベクトルOP を消去、
[4][5][1] から ベクトルOQ, OP を消去し、
[1][6] を使って両式から ベクトルOB, OD を消去すれば、
ベクトルOA, OC が一次独立であることから、
s, t, u, v についての連立一次方程式になる。

{(1-s)-(1-t)-t/4}ベクトルOA + {s-(1-t)}ベクトルOC = 0ベクトル,
{u(1-s)-(1-v)-v}ベクトルOA + {us-v}ベクトルOC = 0ベクトル.
より
(1-s)-(1-t)-t/4 = 0,　　…[10]
s-(1-t) = 0,　　　　　　…[11]
u(1-s)-(1-v)-v = 0,　　…[12]
us-v = 0.　　　　　　　…[13]

[10][11] を解いて、s = 3/7, t = 4/7.
これを [12][13] へ代入して解くと、u = 7/4, v = 3/4.
値を [2][4] へ戻せば、
ベクトルOP = (4/7)ベクトルOA + (3/7)ベクトルOC,
ベクトルOQ = ベクトルOA + (3/4)ベクトルOC.

お礼

丁寧にありがとうございます。問題は解決しました。

回答No.2

USB99

回答としては回答1が優れているけど、別解としては
pは線分AC上にあるから0Aベクトルをa、OCベクトルをbとして
OP=ta+(1―t)bとかける。
又、DB上にあるから
OP=(1―s)OD+sOB=(1-s)・a/4+s(a+b)=(1+3s)/4・a+sb
よって、a,bの係数は等しくなければならないから
t=(1+3s)/4、1―t=s
これを解いて
s=3/7、t=4/7
∴OP=4/7a+3/7b
Qがかわいそうだから
メネラウスの定理よりOD/OA・PB/DP・QA/BQ=1
すなわち1/4・4/3・QA/QB=1 ∴QA/QB=3
∴ OQ=3/4OB+1/4OA=3/4(a+b)+1/4a=...

お礼

丁寧にありがとうございます。問題は解決しました。