高校数学の問題です。解答お願い致します。

質問

問題

数列{Xn}をXn= －an^2+bn+c、n=1,2,3,・・・・・・によって定める。

この時、次の2つの条件(A)、(B)を満たす自然数a,b,cの値を求めよ。

(A) 4, X1, X2 はこの順で等差数列である。

(B)すべての自然数ｎに対して{(Xn+Xn+1)/2}^2 ≧(Xn)(Xn+1)+1 が成り立つ。

答えは
a=1,b=1,c=2 です。

京都大学の問題です。
解答お願い致します。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
(B)の条件はちょっとコツがいりますが、まずは素直に(A)を考えるところから。

(A)
等差数列になることから、「X1は、4と X2の相加平均」という式が立てられます。
さらに、その式を整理すると、aと cのみの式となり、aと cが自然数であることから
aと cの値が決定します。

(B)
問題の不等式を「そのまま」変形していきます。
分母を払い、移項してから整理することを考えると、簡単な不等式にできます。
aと bと nの不等式になりますが、aの値は上で確定しているのでその値を代入します。
n≧ 1に対して、つねに不等式が成立するような bを考えることになります。

お礼

アドバイスありがとうございました。

お陰様で解答にたどり着くことができました。