数学の問題の解答を教えて下さい。

質問

問：

正の数からなる数列｛an｝が次の２条件をみたしている。（あ）a1=２、a2=４（い）連続する３項an,an+1,an+2(n=1,2・・・)は、nが奇数のとき等差数列、nが偶数のとき等比数列をなす。このとき、anをnの式で表せ。

以上です。できるだけ詳しいご回答をよろしくお願いいたします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞正の数からなる数列｛an｝が次の２条件をみたしている。
＞（あ）a1=２、a2=４（い）連続する３項an,an+1,an+2(n=1,2・・・)は、
＞nが奇数のとき等差数列、nが偶数のとき等比数列をなす。このとき、anをnの式で表せ。
隣り合った３つの項だけが、奇数から始まれば等差数列，偶数から始まれば等比数列とすると、
公差ｄ、公比ｒとすると、
ａ1＝２，ａ2＝２＋ｄ，ａ3＝２＋２ｄ，　ａ2＝４，ａ3＝４ｒ，ａ4＝４ｒ^2　だから、
２＋ｄ＝４、２＋２ｄ＝４ｒより、ｄ＝２，ｒ＝３／２
よって、ａ3＝２＋２×２＝６，ａ4＝４×（３／２）^2＝９
次に、
ａ3＝６，ａ4＝６＋ｄ，ａ5＝６＋２ｄ，　ａ4＝９，ａ5＝９ｒ，ａ6＝９ｒ^2　だから、
６＋ｄ＝９，６＋２ｄ＝９ｒより、ｄ＝３，ｒ＝４／３
よって、ａ5＝６＋２×３＝１２，ａ6＝９×（４／３）^2＝１６
同様にして、
ａ7＝１２＋２×４＝２０，　a8＝１６×（５／４）^2＝２５
ａ1～ａ8まで順に並べると、
２，４，６，９、１２，１６，２０，２５，……
偶数項をａ2nとすると、
ａ2＝４＝（１＋１）^2，ａ4＝９＝（２＋１）^2，ａ6＝１６＝（３＋１）^2、
ａ8＝２５＝（４＋１）^2　……
よって、ａ2n＝（ｎ＋１）^2　（ｎ≧１）
奇数項をａ2n-1とすると、
ａ1＝２，ａ3＝６，ａ5＝１２，ａ7＝２０、……
ａ3－ａ1＝６－２＝４＝２×（１＋１）
ａ5－ａ3＝１２－６＝６＝２×（２＋１）
ａ7－ａ5＝２０－１２＝８＝２×（３＋１）
　　……
ａ2n-1－ａ2n-3＝２×（ｎ－１＋１）＝２ｎ
両辺を各辺同士加えると、
ａ2n-1－ａ1＝４＋６＋８＋……＋２ｎ
ａ2n-1＝２＋４＋６＋８＋……＋２ｎ　（ａ1＝２）
＝Σ（ｋ＝１～ｎ）２ｋ
＝２×（1/2)ｎ（ｎ＋１）
＝ｎ（ｎ＋１）

よって、ａn（ｎ≧１）は、
ａ2n＝（ｎ＋１）^2　（偶数項のとき）
ａ2n-1＝ｎ（ｎ＋１）（奇数項のとき）

でどうでしょうか？

お礼

ご回答どうもありがとうございます。私も同じ結果でした。奇数項
を並べたときに、階差数列に導いてしまいましたが、Ferien様のように考える方が考えが広がるように思いました。どうもありがとうございました。

回答No.5

yyssaa

a1=2,a2=4,等差数列なのでa3=6
a2=4,a3=6,等比数列なのでa4=6*(6/4)=9
a3=6,a4=9,等差数列なのでa5=12
a4=9,a5=12,等比数列なのでa6=12*(12/9)=16
a5=12,a6=16,等差数列なのでa7=20
a6=16,a7=20,等比数列なのでa8=20*(20/16)=25
a7=20,a8=25,等差数列なのでa9=30
a8=25,a9=30,等比数列なのでa10=30*(30/25)=36
a9=30,a10=36,等差数列なのでa11=42
a10=36,a11=42,等比数列なのでa12=42*(42/36)=49
よって奇数項は2,6,12,20,30,42,・・・・・
整理すると
a1=2=2*(1)
a3=6=2+(2*2)=2*(1+2)
a5=12=2+(2*2)+(2*3)=2*(1+2+3)
a7=20=2+(2*2)+(2*3)+(2*4)=2*(1+2+3+4)
a9=30=2+(2*2)+(2*3)+(2*4)+(2*5)=2*(1+2+3+4+5)
a11=42=2+(2*2)+(2*3)+(2*4)+(2*5)+(2*6)=2*(1+2+3+4+5+6)
これを続けて
an=2*{1+2+3+・・・+(n+1)/2}=2+4+6+・・・+(n+1)=(n+1)(n+3)/4
偶数項は4,9,16,25,36,49,・・・・・
整理すると
a2=4=1+3
a4=9=1+3+5
a6=16=1+3+5+7
a8=25=1+3+5+7+9
a10=36=1+3+5+7+9+11
a12=49=1+3+5+7+9+11+13
これを続けて
an=1+3+5+7+・・・+(n+1)=(1/4)*(n+2)^2
よってanはnが奇数のときan=(n+1)(n+3)/4
nが偶数のときan=(1/4)*(n+2)^2
まとめて
an=[{1-(-1)^n}(n+1)(n+3)+{1+(-1)^n}(n+2)^2]/8・・・答え

回答No.4

f272

「このとき、anをnの式で表せ」を厳密に守ると
an=n^2/4+n+(7+(-1)^n)/8
かな。まあ，奇数と偶数に分けたほうが分かりやすいけど。

回答No.2

kamikami30

失礼します。
回答ではありません。

質問をみやすくすると回答が早くなります。

問：

正の数からなる数列｛an｝が次の２ 条件をみたしている。

（あ）a1=２ 、a2=４

（い）連続する３項an,an+1 ,an+2(n=1,2・・・)は、nが奇数のと き等差数列、nが偶数のとき等比数 列をなす。

このとき、anをnの式で 表せ。

回答No.1

B-juggler

宿題か、試験問題なのかはしらねども。

自分でやろうとしていないことはいけないね。

問題をしっかり読んで、できることを並べてみよう。

と、代数学の元非常勤は思うのです。

丸投げやっている場合じゃないんだよ！

　＃後で理解しようなんてのは甘い！　一回人に頼ると、癖がつくよ。

ということで、ヒント。

順に追いかける！　これが一番地味だけど、

法則性がつかめないか探す近道だよ。

ａ１＝２　ａ２＝４　が分かっているのだから、

ａ３　は一目だね？

奇数番目なのだから、等差数列になっているはず。

当然、公差は　２　なのは明白だから、　ａ３＝６　と簡単に出る。

で、ａ４。　ａ２＝４　ａ３＝６　と分かっていて、等比数列なんだから

公比は　（３／２）　だね。　ａ４＝６×（３／２）＝９

このまま進めて、

ａ５＝１２　は簡単。　ａ３＝６　ａ４＝９　で等差数列なんだから。

おなじく　ａ６＝１６　９，１２・・・　と続く等差数列、公比は（４／３）。

さて、分かった分だけでも並べてみますか？

２　４　６　９　１２　１６　・・・・

まだ規則作るのは無理っぽいかもね・・・。

もう少し並べてみる。それくらい自分でやろうか。

分かろうとしていないのが一番恥だよ。

最初から分かる人間なんていないのだからね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)