等差数列

質問

等差数列{an}があり、a1＋a2＋a3=30、a5=22である。また、数列{bn}があり、b1=3、bn＋1=2bn-1（n=1、2、3、…）を満たしている。

（1）bnをｎを用いて表わせ。

（2）2つの数列{an}または{bn}に含まれる数を小さい順に並べてできる数列を{cn}とする。50
∑Cnを求め
　 　 n=1
よ。

難しくて、解けません。お願いします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

(1)
数列{bn}の漸化式b[n+1] = 2b[n] - 1（この解釈でいいんですよね？）は
b[n+1] - 1 = 2(b[n] - 1)と変形できる。
数列{b[n] - 1}は初項b[1] - 1 = 2, 公比2の等比数列であるから、
一般項b[n] - 1= 2^n
よってb[n] = 2^n + 1

(2)
数列{a[n]}の一般項を求める。初項 = a, 公差 = dとする。
条件より、a[1] + a[2] + a[3] = a + (a + d) + (a + 2d) = 3a + 3d = 30, a + d = 10
また、a[5] = a + 4d = 22
よってd = 4, a = 6であるから、数列{a[n]}の一般項a[n] = 6 + 4(n - 1) = 4n + 2

{a[n]} = 6, 10, 14, 18, 22, 26, ...
{b[n]} = 3, 5, 9, 17, 33, 65, ...
となり、数列{a[n]}の項はすべて偶数、数列{b[n]}の項はすべて奇数であるから、
数列{a[n]}, {b[n]}の両方に表われる数はない。
数列{c[n]}（n = 1～50）に、数列{a[n]}, {b[n]}からいくつずつ入るかを考える。
a[4] ＞ b[4], a[5] ＜ b[5]であるから、数列{a[n]}から{c[n]}に入るのはa[1]～a[4]、
{b[n]}から{c[n]}に入るのはb[1]～b[46]
よって求める和は
Σ[k=1～4](4k + 2) + Σ[k=1～46](2^k + 1)
= 4・(4・5)/2 + 8 + 2(2^46 - 1) + 46
= 48 + 2^47 - 2 + 46 = 2^47 + 92

お礼

ありがとうございます！
とても助かりました！

回答No.5

asuncion

{a[n]}から何個、{b[n]}から何個持ってくるかは、こんな考え方があるかも。
仮に50個すべてを{a[n]}から持ってきたとする。このとき、c[50] = 202であるが、
{b[n]}の中にはb[n] ＜ 202を満たす項があるので、{b[n]}からも何個か持ってくる必要がある。
ここで、b[7] = 129 ＜ 202 ＜ 257 = b[8]だから、{b[n]}からは7個持ってくる必要がある。
よって{a[n]}からは43個持ってくる必要がある。

回答No.4

asuncion

#1さんの回答を修正します。

つまり，{c(n)}(n=1,2,3,……,50)は，{b(n)}の初項から第7項の127まで含み，他は{a(n)}の項からなる。
{b(n)}の項が7項入っているので，{a(n)}の項は初項から第43項までが含まれます。
したがって{c(n)}の初項から第50項までの和は
{a(n)}の初項から第43項までの和と，{b(n)}の初項から第7項までの和の合計となります。

{a(n)}の和は公式を使うでしょう。
Σ[k=1～43](4k + 2) = 4・43・44/2 + 2・43 = 3870
{b(n)}の和は3+5+9+17+33+65+129=261でもよいですね。
よって求める和は3870 + 261 = 4131

回答No.3

asuncion

(2)は大間違いでした。すみません。

お礼

そうなんですね！ありがとうございます！

回答No.1

kiha181-tubasa

面白い問題ですね。定理を使って一発で答えが出るのではなく，いろいろ知恵を働かせる問題だと思います。

数列{a(n)}の一般項は，a(n)=4n+2であることはすぐに求まります。
（初項と公差を未知数とする連立方程式を解く作業ですね）

数列{b(n)}がちょっと気になります。カッコ内の条件(n=1,2,3,……)はこれで間違いないですか。(n=2,3,……)だと普通なのですが。

b(1)=3,b(n)+1=2b(n-1),(n=2,3,……)
これが正しいとして解きましょう。

２項間の漸化式の問題ですから，b(n)=2^n+1であることはすぐに求まりますね。

さあ，ここで厄介な{c(n)}です。
2つの数列{a(n)}または{b(n)}に含まれる数とありますが，「または」ですから「少なくとも一方に含まれる項」からなる数列です。そして，{a(n)}と{b(n)}には共通項はありません。{a(n)}の項はすべて偶数，{b(n)}の項はすべて奇数ですから。

項を書き並べてみると
{a(n)}：6,10,14,18,22,26,30,……
{b(n)}:3,5,9,17,33,65,129,257,……

これらの項を小さい順に並べて作った数列が{c(n)}です。
（{a(n)}と{b(n)}には共通項はがないので作業はその分少し楽になります）

a(n)<257とおくと
4n+2<257,4n<255,これを満たす最大の整数はn=63
これが意味するのは，{c(n)}(n=1,2,3,……,50)に，b(8)=257は含まれない。（{c(n)}は257までたどり着けない）

a(n)<129とおくと
4n+2<129,4n<127,これを満たす最大の整数はn=31

つまり，{c(n)}(n=1,2,3,……,50)は，{b(n)}の初項から第7項の127まで含み，他は{a(n)}の項からなる。
{b(n)}の項が7項入っているので，{a(n)}の項は初項から第53項までが含まれます。
したがって{c(n)}の初項から第50項までの和は
{a(n)}の初項から第53項までの和と，{b(n)}の初項から第7項までの和の合計となります。

{a(n)}の和は公式を使うでしょう。
53*(2*6+52*4)/2=5830
{b(n)}の和は3+5+9+17+33+65+129=261でもよいですね。
この合計　5830+261=6091　求めるものです。