数学の解答方法をおしえてください。

質問

以下の問題の解答はあるのですが、解答方法がわかりません。
どのようにして解答を求めるのか教えていただけないでしょうか。

a1 = 1; b1 = 3; an+1 = 3an + bn; bn+1 = 2an + 4bn で定められている数列fang; fbng がある．数列
fang; fbng の初項から第n 項までの和を，それぞれSn;Tn とする．
(1) an+1 + ®bn+1 = ¯(an + ®bn) を満たす®; ¯ の組を2 組求めよ．
(2) 数列fang; fbng の一般項および，Sn;Tn を求めよ．
(3) Tn がSn のx 倍(x は正の整数) よりも常に大きくなるとき，x の最大値を求めよ．

回答No.5

spring135

>a1 = 1; b1 = 3; an+1 = 3an + bn; bn+1 = 2an + 4bn で定められている数列fang; fbng がある

fang; fbng が定められていません。

＞(1) an+1 + ®bn+1 = ¯(an + ®bn) を満たす®; ¯ の組を2 組求めよ

¯をひとつの数学量に採るのは数学の常識からかけ離れています。

ここでは
fang; fbng は各々an,bn
¯,®はp,q

で表す。

(1)an+1+pbn+1=q(an+pbn)
=3an + bn+p(2an + 4bn)
=(3+2p)an+(1+4p)bn

故に

q=3+2p
qp=1+4p

これより

p=1,q=5またはp=-1/2,q=2

(2)

p=1,q=5のとき

cn=an+bn　　(1)

でcnを定義すると

cn+1=an+1+bn+1=5(an+bn)=5cn

故に

cn=5^(n-1)c1

c1=a1+b1=4

cn=4・5^(n-1) (2)

p=-1/2,q=2のとき

dn=an-bn/2　　　(3)

でdnを定義すると

dn+1=an+1-bn+1/2=2(an-bn/2)=2dn

故に

dn=2^(n-1)d1

d1=a1-b1/2=1-3/2=-1/2

dn=-2^(n-1)/2 (4)

(1),(3)より

an=(cn+2dn)/3

bn=2(cn-dn)/3

(2),(4)を代入して

an=(4・5^(n-1)-2^(n-1))/3 (5)

bn=(8・5^(n-1)+2^(n-1))/3 (6)

Sn=Σ(i=1,n)ai=(5^n-2^n)/3 (7)

Tn=Σ(i=1,n)bi=(2・5^n+2^n-3)/3　　(8)

(3)Tn>xSn

Sn>0より

x<Tn/Sn

Tn/Sn=Pn=(2・5^n+2^n-3)/(5^n-2^n)

Pnは単調減少(Pn+1<Pn)であることを数学的帰納法で示すことができる。

よって

xはPnの極限値2より小さければよい

xの最大値＝2

お礼

ありがとうございました！
いただいた解答方法をもとに自分なりに検証してみます。
とても助かりました。

回答No.4

asuncion

疲れたので、このへんにしておきます。
(3)は、考えてみてください。

回答No.3

asuncion

{a[n]-b[n]/2}は、初項-1/2,公比2の等比数列
a[n]-b[n]/2=(-1/2)・2^(n-1) …… (4)
{a[n]+b[n]}は、初項4,公比5の等比数列
a[n]+b[n]=4・5^(n-1) …… (5)

Sn-Tn/2=(-1/2){(2^n)-1}/(2-1)=(-1/2){(2^n)-1} …… (6)
Sn+Tn=4{(5^n)-1}/(5-1)=(5^n)-1 …… (7)

(6)×2+(7)より
3Sn=(5^n)-1-{(2^n)-1}=(5^n)-(2^n)
∴Sn={(5^n)-(2^n)}/3

(7)-(6)より
(3/2)Tn=(5^n)-1+(1/2){(2^n)-1}=(5^n)+(1/2)(2^n)-(3/2)
∴Tn=(2/3){(5^n)+(1/2)(2^n)-(3/2)}=(2/3)(5^n)+{(2^n)/3}-1

回答No.2

asuncion

まあ、どこかで計算間違いがあるかもしれませんので、検証してみてください。

回答No.1

asuncion

{pa[n]+qb[n]}という形の数列を考える。
pa[n+1]+qb[n+1]=r(pa[n]+qb[n]) …… (1)
となるようなp,q,rを見つける。
a[n+1]=3a[n]+b[n],b[n+1]=2a[n]+4b[n]を代入すると、
p(3a[n]+b[n])+q(2a[n]+4b[n])=r(pa[n]+qb[n])
(3p+2q)a[n]+(p+4q)b[n]=rpa[n]+rqb[n]
a[n],b[n]の係数を比べて
rp=3p+2q
rq=p+4q
整理して
(3-r)p+2q=0 …… (2)
p+(4-r)q=0 …… (3)
を満たすp,q,rを探す。
qを消去するために、(2)×(4-r)-(3)×2を考えると
{(3-r)(4-r)-2}p=0
また、pを消去するために(3)×(3-r)-(2)を考えると
{(3-r)(4-r)-2}q=0
ここで、p≠0,q≠0と考えて、
(3-r)(4-r)-2=0
r^2-7r+10=0
(r-2)(r-5)=0
r=2,5
r=2を(2)または(3)に代入してp+2q=0
p=-2,q=1としても一般性を失わない。
r=5を(2)または(3)に代入してp-q=0
p=1,q=1としても一般性を失わない。
p=-2,q=1,r=2を(1)に代入して、-2a[n+1]+b[n+1]=-4a[n]+2b[n]より
a[n+1]-b[n+1]/2=2(a[n]-b[n]/2)
p=1,q=1,r=5を(1)に代入して、
a[n+1]+b[n+1]=5(a[n]+b[n])
∴設問1の答えは、(®,¯)=(-1/2,2),(1,5)
{a[n]-b[n]/2}は、初項-1/2,公比2の等比数列
a[n]-b[n]/2=(-1/2)・2^(n-1) …… (4)
{a[n]+b[n]}は、初項4,公比5の等比数列
a[n]+b[n]=4・5^(n-1) …… (5)
(4)×2+(5)より、3a[n]=4・5^(n-1)-2^(n-1)
a[n]={4・5^(n-1)-2^(n-1)}/3
(5)-(4)より、3b[n]=8・5^(n-1)+2^(n-1)
b[n]={8・5^(n-1)+2^(n-1)}/3
∴設問2の答えは、fang={4・5^(n-1)-2^(n-1)}/3,fbng={8・5^(n-1)+2^(n-1)}/3

とりあえずここまで。