数学（数列）の質問です

質問

数列{An}に対して Bn=（A1＋Ａ2＋...＋Ａｎ）/n　　とおくとき、{Bn}が等差数列ならば{An}も等差数列であることを示せ。

よろしくお願いします。

回答No.2

さゆみ（@sayumi0570） · ベストアンサー

nB(n)=A1+A2+・・・Ａｎ

（ｎ－１）Ｂ（ｎ－１）＝Ａ１＋Ａ２＋・・・Ａ（ｎ－１）

３Ｂ（３）＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ３
２Ｂ（２）＝Ａ１＋Ａ２
Ｂ（１）＝Ａ１

Ｂ（ｎ）＝Ａ１＋Ｄ（ｎ－１）　　とすると

３（Ａ１＋２ｄ）＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ３
２（Ａ１＋ｄ）＝Ａ１＋Ａ２
Ａ１＝Ａ１

２（Ａ１＋ｄ）＝Ａ１＋Ａ２
Ａ１＝Ａ１
ひきざんすると
Ａ１＋２ｄ＝Ａ２

３（Ａ１＋２ｄ）＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ３
２（Ａ１＋ｄ）＝Ａ１＋Ａ２
ひくと
Ａ１＋４ｄ＝Ａ３

nB(n)=A1+A2+・・・Ａｎ

（ｎ－１）Ｂ（ｎ－１）＝Ａ１＋Ａ２＋・・・Ａ（ｎ－１）

ｎ（Ａ１＋（ｎ－１）ｄ）＝Ａ１＋Ａ２＋・・・Ａｎ
（ｎ－１）（Ａ１＋（ｎ－２）ｄ）＝Ａ１＋Ａ２＋・・・Ａ（ｎ－１）

ひくと
Ａ１＋（２ｎ－２）ｄ＝Ａｎ

Ａｎ＝Ａ１＋（ｎ－１）２ｄ　　の等差数列です

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.4

R_Earl

ANo.3ですが、問題を勘違いしていました。
なのでANo.3の回答は無視して下さい。

回答No.3

R_Earl

Anが等差数列なので
Bn = （A1 + A2 + ... + An)/n
の（A1 + A2 + ... + An)の部分は等差数列の和ですよね。
この部分に等差数列の和の公式を当てはめて、
右辺を式整理するだけで示せます。

とりあえずAnの初項をa, 公差をdとおいて
等差数列の和の公式に当てはめてみましょう。
当てはめた後に式整理すると、
Bnは初項a、公差d/2の等差数列になる事が分かります。

回答No.1

nag0720

nBn=A1＋A2＋...＋An
(n+1)B[n+1]=A1＋A2＋...＋A[n+1]

A[n+1]=(n+1)B[n+1]-nBn
An=nBn-(n-1)B[n-1]

A[n+1]-An=(n+1)B[n+1]-nBn-nBn+(n-1)B[n-1]
=n(B[n+1]-2Bn+B[n-1])+B[n+1]-B[n-1]

あとは分かりますね。

お礼

回答ありがとうございます！