6-2 高校数学の確立の問題です
各々１から10までの番号の付いた10個の白い球と同じく10個の赤い球の計20個が入った袋がある この袋から1つずつ順に4個の球を取り出すことにする ただし、一度取り出した球は袋に戻さないものとする このとき
(1)4つめの球を取り出したときに初めて同じ番号の白球と赤球の対ができる確率をもとめよ
(2)2つめに取り出した球の番号よりも4つめに取り出した球の番号のほうが大きくなる確率を求めよ
解説 (1)4個の球の順列は20/19/18/17通り(1)でこのうちで題意のようになるのは球の番号だけに着目するとabca,baca,bcaaの3タイプで各タイプの順列の個数を色も考慮して。まずは2個のaから数えると、どのタイプも20・1・18・16通り(2) よって求める確率は
((2)×3)/(1)=(16・3)/19・17＝48/323
別解(1)くじ引き型の問題は一般に和積の法則を使わないで単に場合の数を数える解法がよいが本問は積の法則を使ったほうが考えやすい 求める確率は
20/20・18/19・16/18・3/17=48/323
(2)(1)の(1)のうちで題意のようになるのは、まず、2個目と4個目の番号の組み合わせ
つぎに2個目と4個目の色
最後に1個目と3個目の球(番号および色)の順に考えると[10]C[2]・2^2・18・17=20/9・18・17通りである よって求める確率は9/19
(2)の別解 ｎ個目の番号をa[n]とする (1)(1)の順列を、まずは2個目と4個目の番号の組み合わせを決めてから作ると考えると、明らかにP(a[2]<a[4])=P(a[2]>a[4])よって
P(a[2]<a[4])=1/2×{1-P(a[2]=a[4])}=1/2×(1-1/19)=9/19 (注)
(注)(2)の別解のP(a[2]=a[4])=1/19はまずa[2]、つぎにa[4]を決めると考えれば瞬間的に分かることですが、このように時間の順序を変えて考えてよいのは順列は好きな順序で数えてよいからです
とあったのですが
abca,baca,bcaaの3タイプあるとあるのですが、acbaは考えなくていいんですか？
まずは2個のaから数えるとどのタイプも20・1・18・6通りとあるんですが、何故この掛け算になるのか分かりません最初の20は20個からどの番号を選ぶか20通りなので20と分かるんですが、次の1が分からないです、次の18は最初の球と2番目の球以外の18通りということでしょうか？次の6は何で6なのか分からないです
求める確立は((2)×3)/(1)の所で(2)×3の3は何で3を掛けるんですか？
別解?の積の法則を使って20/20×18/19×16/18×3/17=48/323の所の計算も何でこの計算になるのか分かりません
(2)は2個目と4個目の番号の組み合わせ 次に2個目と4個目の色 最後に1個目と3個目の球
の順に考えると [10]C[2]×2^2×18×17=20×9×18×17通りってあるんですが
ここも何でこんな計算になるのか分かりません
(2)の別解で2個目と4個目の番号を組み合わせてから作ると考えるとP(a[2]<a[4])=P(a[2]>a[4])とあるんですがa[2]＞a[4]とa[2]<a[4]が何で同じになってるのか分かりません
よってP(a[2]<a[4])=1/2×{1-P(a[2]=a[4])}=1/2×(1-1/(19))の所なのですが
P(a[2]<a[4])=1/2×{1-P(a[2]=a[4])}が成り立つのが分かりません、それとP(a[2]=a[4])が何故1/(19)になるのかも分からないです
お礼
すみません。貼り間違えました。