基本的な問題ですが

質問

正月気分も今日までとして。。。。。ｗ

xの方程式：x＾2-x＋1＝0　の2つの解をα、βとし、Ｓ（n）＝α＾n＋β＾n　（n＝1、2、3、4‥‥）とする。
この時、Ｓ（n）の値を求めよ。

これは方程式を解いて、その解を極形式で表して、ド・モアブルの定理を使つてＳ（n）の値を求める。
但し、nの値で場合分けは必要になる。

と、言うのが一般的な解法でしょうが、それではつまらないので、別解を求めます。
斬新な解答を期待します。

回答No.5

chan-aboo

#1さんの言っているのは、次のようなことです。
x ≠ -1　のとき、方程式の両辺に x + 1 をかけることができ、

x^3 + 1 = 0　となります。

αもβも-1ではないので、
　α^3 = -1, β^3 = -1 となります。

したがって、n = 3k + m （m = 0, 1, 2)とおくと、
S(n) = (-1)^k (α^m + β^m)

(1) m = 0 のとき、
S(n) = 2・(-1)^k

(2) m = 1 のとき、
S(n) = (-1)^k (α+ β) = (-1)^k (解と係数）

(3) m = 2 のとき
S(n) = (-1)^k { ( α＋β)^2 - 2αβ }
= -(-1)^k

お礼

用意した解答です。

α＋β＝1、αβ＝1、であるから、x＾3＝-1、x＾6＝1.
S(n＋6)-S(n)＝α＾n*（α＾6-1）＋β＾n*（β＾6-1）＝0.
つまり、S(n＋6)＝S(n)であるから、S(n)は基本周期が6の周期関数。
(1)　n＝1の時、S(1)＝α＋β＝1.
(2)　n＝2の時、S(2)＝α＾2＋β＾2＝-1.
(3)　n＝3の時、S(3)＝α＾3＋β＾3＝-2.
(4)　n＝4の時、S(4)＝α＾4＋β＾4＝-（α＋β）＝-1.
(5)　n＝5の時、S(4)＝α＾5＋β＾5＝-（α＾2＋β＾2）＝1.
(6)　n＝6の時、S(4)＝α＾6＋β＾6＝α＾3＋β＾3＝2.

以上から、S(n)＝±2、±1.

回答No.4

naniwacchi

#2です。
少し修正もありましたので、合わせて以下に。

ωとは x^2+ x + 1＝ 0の解、すなわち x^3＝ 1の虚数解のことです。
ただし、いまの問題ではα、βは x^3＝ -1の虚数解ですので、
α＝ -ω^2, β＝ -ωと表されることになります。

ややこしくなるので、α、βを
α＝ χ^2＝ -ω^2
β＝ χ＝ -ω

と表すことにします。

計算の準備として、以下の式を挙げておきます。
χ^3＝ -1
χ^2- χ＝ -1
χ^2+ χ＝ -ω^2- ω＝ 1（ω^2+ ω+ 1＝ 0より）

あとは、n＝ 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5で場合分けをします。
なぜ、3の倍数でなく、6の倍数になるかは、計算してみればわかると思います。

回答No.3

nag0720

(α＾n＋β＾n)(α＋β)＝α＾(n+1)＋β＾(n+1)＋αβ(α＾(n-1)＋β＾(n-1))
α＋β＝1、αβ＝1　なので、
S(n+1)＝S(n)-S(n-1)＝-S(n-2)
あとは、
S(1)=1、S(2)=-1、S(3)=-2
から順次求まります。

お礼

方向性は良いと思いますが、

＞から順次求まります。

解答からすると、不完全解です。答は、4個あります。

回答No.2

naniwacchi

#1さん、さすがですね。
α、βと書くよりも、ω^2、ωと書けば、終わりですね。

お礼

終わり？　答は4種類。

回答No.1

Tacosan

わざわざ de Moivre を使うの?
x+1 を掛けて終わり.

お礼

＞x+1 を掛けて終わり

終わり？