極限の問題

質問

lim[x→0]{(3^x+5^x)/2}^(1/x)を求める問題です。
ロピタルの定理で分子分母を微分しようにも複雑すぎます。
解放を教えて頂ければ幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足について

>よろしければマクローリン展開する方法も教えて頂けませんか？
>x^-1乗の項が出現するためうまく極限が取れません。

おっしゃる通りですね。

一次までのマクローリン展開
f(x)={(3^x+5^x)/2}^(1/x)
=f(0)+f'(0)x + ...
におけるf(0)は
f(0)=lim[x→0]{(3^x+5^x)/2}^(1/x)
と求める極限になってしまいます。
この極限を求めるのにA#2に書いたロピタルの定理を用いて
極限=√15を計算するのであれば、マクローリン展開する前に、極限が求まっていて、
何のためのマクローリン展開する意味がなくなってしまいますね。

一応、マクローリン展開は以下のように求めます。
マクローリン展開公式：e^x=1+x+(x^2)/2! + O(x^3) より

5^x=e^(xln5)=1+(ln5)x+((ln5)^2)(x^2)/2 + O(x^3)
3^x=e^(xln3)=1+(ln3)x+((ln3)^2)(x^2)/2 + O(x^3)
(5^x+3^x)/2=1+(ln15)x/2+((ln5)^2+(ln3)^2)(x^2)/4 + O(x^3)

マクローリン展開公式：(1+ax+bx^2)^(1/x)=(e^a)+(e^a)(2b-a^2)x/2+ O(x^2) より
a=(ln15)/2=ln√15,b=((ln5)^2+(ln3)^2)/4=(ln√5)^2+(ln√3)^2　として

((5^x+3^x)/2)^(1/x)=e^(ln√15)+(e^(ln√15))((ln(5/3))^2)x/4 + O(x^2)
=√15 +(√15)((ln(5/3))^2)x/4 + O(x^2)

∴lim[x→0]{(3^x+5^x)/2}^(1/x) =lim[x→0] √15 +(√15)((ln(5/3))^2)x/4 =√15

お礼

とってもわかりやすい説明をありがとうございました。
これを参考に自分でもやってみます。

回答No.4

info22_

#2,#3です。

念のため
A#3におけるO(x^2)やO(x^3)はランダウの記号（参考URL参照）です。
計算に直接関係しないマクローリン展開のx^2以上やx^3以上のべきの項をまとめて
書くときの記号（ビッグオー）です。詳細は参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ランダウの記号

回答No.2

info22_

#1さんの言われるようにxの１次項までのマクローリン展開すれば良いですが、
ここではあくまでロピタルの定理にこだわって回答して見ましょう。

{(3^x+5^x)/2}^(1/x)　＞0 なので

対数をとって考えると
lim[x→0]　[ln{(3^x+5^x)/2}]/x ←　lnは自然対数log_e のことです。
=lim[x→0]　[ln{(3^x+5^x)/2}]'/1 ←　ロピタル
=lim[x→0]　{ln(3^x+5^x)}'
=lim[x→0]　(3^x+5^x)'/(3^x+5^x)
=lim[x→0]　((ln3)3^x+(ln5)5^x)/(3^x+5^x)
=(ln3+ln5)/(1+1)
=(ln15)/2=ln√15

以上の結果より
lim[x→0]{(3^x+5^x)/2}^(1/x)
=lim[x→0] e^[ln{(3^x+5^x)/2}/x)]
=e^{ln(√15)}　　 ←公式 e^ln(a)=a適用
=√15

お礼

回答有り難うございます。
とても良くわかりました。
よろしければマクローリン展開する方法も教えて頂けませんか？
x^-1乗の項が出現するためうまく極限が取れません。

回答No.1

Tacosan

{} の中を x の 1次まで展開すればいいんじゃないかな.