極限値問題

質問

lim (x^(x^x))/x
x→+0

をロピタルの定理を使って解けという問題です。
分母はx、分子は「xの xのx乗 乗」です。
置換してlogを取って・・・
分母は１、分子は置換積分で・・・
・・・こんがらがりました。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22

#2です。
＞なんとか手計算で解き上げたいのですが、
＞=lim {((x^x)-1)^(2)}/[{log(e/x)}{x^(x+1)}]
＞　x→+0

{((x^x)-1)^(2)}/[{log(e/x)}{x^(x+1)}]
={((x^x)-1)^2/(x^x)}/[x{log(e/x)}]
=[{(x^x)-1}/{xlog(e/x)}]×{1-(1/(x^x))}

第一項を調べると
{(x^x)-1}/{xlog(e/x)}
ロピタルの定理より
={(x^x)(logx)+1/(x^x)}/{-log(x)}
=-{(x^x)+(1/(x^x))(1/log(x))}
→-(1+1×0)=-1 (x→+0)　…(1)
(x^x→1(x→+0)はA#2で既に導出済みです）

第二項は
{1-(1/(x^x))}→1-1=0 (x→+0) …(2)

したがって
log(y)=((x^x)-1)log(x)
={((x^x)-1)^(2)}/[{log(e/x)}{x^(x+1)}] (x→+0)
（ここまではA#2から引用）
(1),(2)から
=[{(x^x)-1}/{xlog(e/x)}]×{1-(1/(x^x))}
→(-1)×0=0

したがって
y=(x^(x^x))/x=e^log(y)→e^0=1

回答No.3

tarame

No.1のtarameです。なるほど、対数をとってみる手法ですね。
x→+0のとき　x^x→1であるから
log{x^(x^x)/x}＝(x^x)logx－logx＝(x^x-1)logx
＝logx/(x^x-1)^(-1)
　分子・分母とも→-∞であるから、ロピタルの定理により
→(1/x)/{-(x^x)(logx+1)/(x^x-1)^2}
＝{2-x^x-1/(x^x)}/{x(logx+1)} と変形すると
　分子・分母とも→０であるから、ロピタルの定理により
→(logx+1){1/(x^x)-x^x)/(logx+2)
＝(1+1/logx){1/(x^x)-x^x}/(1+2/logx)→０
よって　x^(x^x)/x→1

回答No.2

info22

y=(x^(x^x))/xとおくと
log(y)=((x^x)-1)log(x)

lim x^x=lim e^(xlogx)=e^0=1
x→+0 x→+0

数学ソフトを使うと
lim log(y)=lim ((x^x)-1)log(x)=0
x→+0　　　x→+0
と出ます。
したがって
lim y= lim e^(log y)=e^0=1
x→+0 x→+0
と求める極限値は１になります。

手計算では
lim log(y)=lim ((x^x)-1)log(x)　…　0×∞形
x→+0　　　x→+0
=lim log(x)/((x^x)-1)^(-1) …　0/0形
x→+0　　　x→+0
ロピタルの定理を使って
=lim (1/x)/[{log(e/x)}(x^x)/{((x^x)-1)^(2)}]
x→+0　
=lim {((x^x)-1)^(2)}/[{log(e/x)}{x^(x+1)}]
x→+0　
この先の手計算はうまくいっていません。

y=x^(x^x)のグラフを描くとx→+0で傾斜y'=1になります。
つまりy=xに漸近するということです。
lim y/x=lim y'=1(ロピタルの定理より)
x→+0 x→+0
となり極限値は１になることは明らかです。

お礼

ありがとうございます。御礼が遅れてすみません。

なんとか手計算で解き上げたいのですが、

=lim {((x^x)-1)^(2)}/[{log(e/x)}{x^(x+1)}]
x→+0

となると分子→０、分母→∞×０ となりますね。
対数をとって極限値を求める ＋ ロピタルの定理 の組み合わせのほかに
ロピタルの定理 ＋ 対数をとって極限値を求める の組み合わせもありそうですが、これもうまく整理できていません。

結論は１になるのが正しいと思いますが、
なんとか数式から導出できないものでしょうか。

もし、何か解き方にお気づきになりましたら、再度よろしくお願いいたします。

回答No.1

tarame

y＝x^(x^x)において、u＝x^x とすると
対数微分法により　u'＝(x^x)(logx+1)
y＝x^u より　logy＝ulogx
y'/y＝u'logx＋u/x
y'＝y{(x^x)(logx＋1)logx＋(x^x)/x}
　＝x^(x^x+x-1){x(logx+1)logx+1} となるけど、
ロピタルの定理をどのように使うのだろう？？？？
答えになってなくてごめんなさい。

お礼

さっそくのアドバイス、ありがとうございます。
対数微分方でu'を求めるたり、y'を求めるところまでは方向として正しいと思われますが、このようにy'がごちゃごちゃになってきまして閉口しています。
少なくともあまり纏めてしまうのは得策ではないように思います。
x^(x^x+x-1)のようにすると、極限値を求めるには遠くなってしまいそうです。
直感的には１になりそうなので、x^xの極限値x→+0の問題と同様に、
logをとった極限値が0になるので、元の関数は１に収束するというスタイルになるのだと思うのですが・・・
また、うまく解けそうでしたら教えてください。