極限に完全な不定形はあり得ますよね？

質問

お世話になります、以下の極限の問題で行き詰まり困っております。
皆様のお知恵をご教授願います。

lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) の極限を求めたいのですが、

x=y方向から (x, y) → (0,0)の時、√|xy| / √(x^2+y^2)の接線が定まらない事は何となく理解できるのですが…

x=yの条件下では、分子も分母も同時に0になり、

lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =0/0…不定形

ｘ≠ｙの条件下では、分子(積)が分母(二乗和)より先に0になるので、

im[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =0

以上の2通りが解になると考えても良いのでしょうか？

ご指導願います。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> x=yの条件下では、分子も分母も同時に0になり、
>
> lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =0/0…不定形

そもそも「不定形」は解ではありません。
そのままの状態では極限値が求められないのが「不定形」です。
だから「不定形」となった場合は、何とか式変形をして極限値が求まる形にし、
ちゃんと極限値を求めるんです。「不定形」と答えません。
「不定形」と答えてしまうとそれは、
「まだ計算途中で、極限値が求まっていません」と答えているのと
同じ事になってしまいます。

ちなみにx = yの条件化だと
lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2)
= lim[x,y→0] √(x^2) / √(x^2+x^2)
= lim[x,y→0] √(x^2) / √(2x^2)
= lim[x,y→0] √(x^2) / {√2√(x^2)}
となって、分子分母の√x^2が約分されるので
極限値が1/√2と求まります。

> ｘ≠ｙの条件下では、分子(積)が分母(二乗和)より先に0になるので、
>
> lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2) =0

これも違います。
分子の方が先に0になったとしても、0に収束するとは限りません。
例えばlim[n → 0] (2n)/(3n)は分子の方が0に近づくのが早いですが、
極限値は2/3です。

> 以上の2通りが解になると考えても良いのでしょうか？

場合によって極限値が変わる時は「極限値無し」が答えです。

ちなみにlim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2)の求め方に関してですが、
この手のタイプの極限値はx = rcosθ、y = rsinθと極形式に直して
r → 0の極限を考えると良いです。
そうするとこの極限値は(0, 0)へ近づける時の角度によって値が変わる事が分かります
（つまり極限値は無し）。

お礼

色々と自分の極限に関する認識の間違いを気づけました…orz

ありがとう御座います！

補足

的確なご指導、ありがとう御座います。

簡単に考えすぎていました…orz

試行錯誤の中で、極座標も考えていたのですが、

x=rcosθ ,y=rsinθ　,(x,y)→0ならばr→0

lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2)
=lim[r→0] √|r^2cosθsinθ| / √r^2(cos^2θ+sin^2θ)
=lim[r→0] √r^2| cosθsinθ| / √r^2
=lim[r→0] r√| cosθsinθ| / r
=lim[r→0] √| cosθsinθ| …(1)

となって、x/r=cosθ ,y/r=sinθ ,r= √(x^2+y^2)より、
=lim[r→0] √| cosθsinθ|
lim[x,y→0] √|xy| / √(x^2+y^2)と元に戻ってしまったのですよ…

(1)から元に戻さず、

“lim[r→0] √| cosθsinθ|よりθにより値が変化するので、極限値なし“
とすればよかったんですね。