積分路に不連続点をもつ複素積分

質問

参考書では, ∫_C f(z) dz を考えるとき, f(z) が C の任意の点で連続であることを仮定しています。
それなのに,
f(z) = |z|/z, C : |z - 1| = 1 のとき, ∫_C f(z) dz を求めよ,
という問題があって、まったく解けません。
C 上の点 z = 0 において, f(z) は不連続である以前に定義されていません。
こういう問題はどのように解いたらいいのか、考え方とできれば答を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

ereserve67

Ano.2です。ご指摘ありがとうございます。

積分は

i∫[-π→π]e^{it/2}dt=2i

お礼

自分で計算したら 4i になりましたが、解法は理解しました。
ありがとうございました。

回答No.2

ereserve67

C上ではz=1+e^{it}(-π≦t≦π)とおける．

ｚ=1+cost+isint=2sin^2(t/2)+i2sin(t/2)cos(t/2)=2isin(t/2){cos(t/2)-isin(t/2)}=2isin(t/2)e^{-it/2}

|z|=2sin(t/2)

-π<t<πのときf(z)=1/{ie^{-it/2}=1/e^{i(π-t)/2}=e^{i(t-π)/2}

δ，εを小さな正の数としてC'={1+e^{it}|-π+δ≦t≦π‐ε)}とおく．dz=ie^{it}dtより

∫_C'f(z)dz=∫_{-π+δ}^{π‐ε}e^{i(t-π)/2}ie^{it}dt=∫_{-π+δ}^{π‐ε}e^{i3t/2}dt
={e^{i3(π‐ε)/2}-e^{i3(-π+δ)/2}}/(i3/2)→{e^{i3π/2}-e^{-i3π/2}}/(i3/2)={e^{-iπ/2}+e^{-iπ/2}}/(i3/2)
=(-2i)/(i3/2)=-2/(3/2)=-4/3

特異点を除けて積分したら求まります．

お礼

実積分の広義積分のように、この問題は極限値を求めればいいことがわかりました。ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。えーっと,

z = 1 + cos t + i * sin t
= 2 * cos^2 (t/2) + 2i * sin (t/2) * cos(t/2)

でしょうか。
続きの計算も変わってきますね。
自分でも少しやってみます。

回答No.1

noname#162087

コーシーリーマン方程式で正則かを調べれば？

お礼

今後も縁があったら回答お願いします。
ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
f(z) が正則かどうか調べる、ということですか。
目的は何でしょうか。