複素積分の求め方。

質問

問題１
I=∫c (1/z^5)dz
cは単位円|z|=1の上半分を点z=1からz-1までを回る曲線

問題２
A=∬D sin(2x+y)dxdy
D:0≦x≦π/2,0≦y≦x

条件をどこでしようしていいのかわかりません。
どなたかお願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

問題２の領域Ｄは下の図の＊の部分です．

　ｙ

　│
π│　　　　　　／
　│　　　　　／＊
　│　　　　／＊＊
　│　　　／＊＊＊
　│　　／＊＊＊＊
　│　／＊＊＊＊＊
　│／＊＊＊＊＊＊
　└────────　ｘ
０　　　　　　　π　

したがって，この部分について積分するには，
最初ｘを固定してｙについて０からｘまで積分(下図の矢印にそって積分)します．
結果は当然ｘのみの関数．
それを更にｘについて０からπ/2 まで積分すればＯＫです．

　ｙ

　│
π│　　　　　　／
　│　　　　　／↑
　│　　　　／↑｜
　│　　　／↑｜｜
　│　　／↑｜｜｜
　│　／↑｜｜｜｜
　│／↑｜｜｜｜｜
　└────────　ｘ
０　　　　　　　π　

すなわち，第１段階は
(1)　　∫{y=0～x} sin(2x+y) dy = -cos(3x) + cos(2x)
第２段階は
(2)　　∫{x=0～π/2} {-cos(3x) + cos(2x)} dx = 1/3
で，最終的答は 1/3 です．
計算のチェックもよろしく．

うるさいことを言えば，
２重積分を累次積分(ｙについて積分，その後ｘについて積分)に直せる条件などありますが，
多分そこまでは要求されていないでしょう．

お礼

理解しやすい説明ありがとうございました。

回答No.2

kony0

まずは領域Dを図示してみてください。
ここでは、xを固定してyについての積分を先に行おうと思います。
図上で「xを固定」するとは、y軸に平行な線を引くことに対応するかと思います。

∫(0≦x≦π/2) {∫(0≦y≦x) sin(2x+y) dy} dx

この{}内の積分においては、xは定数とみなします。
∫(0≦y≦x) sin(2x+y) dy = [-cos(2x+y)] = cos(2x)-cos(3x)

このあと、xについての積分を行います。
∫(0≦x≦π/2) cos(2x)-cos(3x) dx = [(1/2)sin(2x)-(1/3)sin(3x)] = 1/3（答）

ここで、もしあえてyを固定してxを先に積分しようとすると、
∫(0≦y≦π/2) {∫(y≦x≦π/2) sin(2x+y) dx} dy
となることが、はじめに描いた図において、x軸に平行な線をかくことによりわかってもらえると思います。
これが「積分の順序変換」というものです。
ただし、この問題においては、わざわざ変換しないほうがうまそうですかね？

（結果的に回答もかいていますが、むしろアドバイス的側面が大きいので、回答の種類を「アドバイス」とします。）

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました。

回答No.1

ku_by_wada

問題２に関して
加法定理を使います
∫dy∫D sin2x cos y-cos2xsin ydx
２重積分は与えられた領域で1変数を固定し、もう一方を寄せ集める
∫[sin 2x*sin y+cos 2x cosy]y=x-[sin 2x sin y+cos2x cosy]y=0dy
=∫sin2xsinx+cos2xcosx-cos2xdx=∫cosx-cos2xdx=（sinx-(sin2x)/2）x=π/2-
(sinx-(sin2x)/2)x=0=1

問題１はz=e^itと変数変換して
dz=ie^it t=0～πまで　となり
∫ie^it/e^5itdt=∫i/e^4itdt=i/（-4ie^4it)t=0-i/(-4ie^4it)t=pai=
1/4-1/4=0
となると思いますが

補足

回答ありがとうございます。

A=∬D sin(2x+y)dxdy

これに加法定理を利用する・・・
えーっと、sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
ですか？

＞２重積分は与えられた領域で1変数を固定し、もう一方を寄せ集める
・・・・・
すみません。もう少し詳しく教えていただけませんか？
頭あまりよくないほうなので。
お願いします。