複素積分の解法について

質問

こんばんは。複素積分の問題なのですが、例えば

∫c{(x+y)+i(x-y)}dz (積分経路Cは、0～1+i～1)

のような問題の場合どのような回答になるでしょうか。

また、

∫c[z/{(z-2)(z-4)^2}]dz (C:|z|=1)

のような問題の場合、|z|=5などの場合はコーシーの積分表示などで解くことができると思うのですが、この問題のように特異点が分からない場合はどうしたらいいでしょうか。どなたか分かる方がおられれば教えていただけると幸いです。よろしくお願いいたします。

回答No.1

yaksa · ベストアンサー

前半。
z=x+yiってことでいいんですよね。x,y：定数じゃ問題になりませんし。普通に媒介変数表示にしてやればいいです。
C=C0+C1　(C0:0～1+i, C1:1+i～1)
として、C0の部分だけやってみると、
x+yi=t(1+i) と置いて、
dz = (i+i)dt
　∫_C0 {(x+y)+i(x-y)}dz
= ∫_{0,1} 2t(1+i)dt
= 1+i

後半。
＞特異点が分からない場合はどうしたらいいでしょうか
|z|=1の内部には、特異点はありませんね。したがって、コーシーの積分定理より、０です。

お礼

おかげさまでなんとか解けそうです。どうもありがとうございました。