三次元の井戸型ポテンシャルについて

質問

量子力学の質問です。

三次元の井戸型ポテンシャル(一辺Lの立方体)についてなのですが、
（I）箱の端の波動関数を0とする条件
つまりψ(L,y,z,)=ψ(x,L,z,)=ψ(x,y,L)=0
のとき

（II）周期的境界条件を条件にした場合
つまりψ(x,y,z,)=ψ(x+L,y,z,)=ψ(x,y+L,z)=ψ(x,y,z+L)
という条件のとき

とでエネルギー固有値を求めました。

すると（I）は
E=h^2/(8πm)・(π/L)^2・{(n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2}
ただしn_x,y,zは0を含まない自然数。

（II）は
E=h^2/(8πm)・(2π/L)^2・{(n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2}
ただしn_x,y,z=0,±1,±2...

となりました。明らかに(I)と（II）ではエネルギー固有値がちがってきます。
これはなぜなのでしょうか？
このほかのフェルミ波数等は同じ値をとるのにエネルギー固有値だけちがうというのはいいのでしょうか？

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

境界条件が違うから、という言い方もできるでしょうし、
同じ記号を使っているだけでn_xなどが表す量が違うからという言い方もできるでしょうか。

>このほかのフェルミ波数等は同じ値をとるのにエネルギー固有値だけちがうというのはいいのでしょうか？
ん？(Lが十分に大きい時には)フェルミエネルギーも一緒になると思いますが。

お礼

おっしゃるとおり、フェルミエネルギーは同じになりますね。「同じ記号を使っているだけでn_xなどが表す量が違う」と理解します。回答ありがとうございました。