一様磁場中のShrodinger方程式

質問

ｚ方向に一様磁場がある場合のSchrodinger方程式を解いていて、
1/2m{p_x^2+p_y^2+p_z^2+1/4e^2H^2(x^2+y^2)-eHL_z}ψ=Eψ
とゆう固有値問題になったのですが、２次元振動子
p_x^2+p_y^2+1/4e^2H^2(x^2+y^2)
の固有値を
eH(n'+1)
として、L_zの固有値をｍとすると、n'-mが偶数になる理由がわかりません。
また、それ以外にこの固有値方程式を解く方法があるのなら教えてほしいです。お願いします。

回答No.3

KENZOU · ベストアンサー

＃２のKENZOUです。
＞kyanaumiさんの紹介してくださったメシアで最初の問題は解決したのですが
なによりです。私はメシアの本を持っていないからよくわかりませんが，＃２の参考URLに書いた式で
　n'+1=2n＋|m|＋1
とすればn'-mは偶数であることが導けますね。

＞２次元調和振動子を使うために(x^２＋y^２)の項を使わないと解けないが、ゼーマン効果を見るときは、この項とても小さいとして無視して考える事によって、(水素原子のエネルギー固有値)＋(L_zの項)として解きますよね?この差は何なんでしょ?ゼーマン効果のとき、その項を無視したせいで何も問題はないとかいてあったんですが・・・？意味わからなくなってきました。

ハミルトニアンを厳密に解けば上のURLに書いたようになりますが，ハミルトニアンの中の(x^2+y^2)の項をよくみると(eB)^2の係数がかかっていますね。今，磁場が弱いとするとこの項は無視できる程度の微小な摂動(Bが小さくかつe^2がかかっているため微少量となる）と考えられますので，この項をカットしても特に問題ないということだと思います。

回答No.2

KENZOU

まぁ，ここで解き方を示すのは無理ですので，Latexの練習もかねてファイル(pdf)を作ってみました。参考URLに載せておきましたのでよろしければ一度ご覧になってください。ここに載せた解き方はいわゆる生成消滅演算子を使った代数的なやりかたを示しています。

参考URL：

http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/CoffeeBreak.html

お礼

参考URLありがとうございます。生成消滅演算子のところがとても、面白かったです。
ところで、私の質問の解決の糸口が乗ってるのは、どれを読めばよかったのかわかりません・・・。

補足

kyanaumiさんの紹介してくださったメシアで最初の問題は解決したのですが、新たな問題がでてきました・・・。

この方法で一様磁場中のSchrodinger方程式を解こうとすると、２次元調和振動子を使うために(x^２＋y^２)の項を使わないと解けないが、ゼーマン効果を見るときは、この項とても小さいとして無視して考える事によって、(水素原子のエネルギー固有値)＋(L_zの項)として解きますよね?この差は何なんでしょ?ゼーマン効果のとき、その項を無視したせいで何も問題はないとかいてあったんですが・・・？意味わからなくなってきました。

回答No.1

kyanaumi

その問題でしたら、『メシア 量子力学２』の１２章調和振動子の(3)多次元等方性調和振動子に乗ってましたよ。

お礼

しっかりのってました。ありがとうございました。