井戸型：シュレーディンガー

質問

井戸型ポテンシャルの問題です。
どうも数学的な計算が苦手なものでして・・・。
できれば詳しくお願い致します。

ポテンシャル
Ｕ(x,y)＝０、０≦ｘ≦Ｌ、０≦ｙ≦Ｌ
Ｕ(x,y)＝∞、それ以外

無限に深い井戸型ポテンシャル内の粒子運動を考える。
井戸内でのシュレーディンガー方程式は　【エッチバー：H　とする】
－H^2／２ｍ{∂^2φ(x,y)／∂x^2　＋　∂^2φ(x,y)／∂y^2}＋Ｕ(x,y)φ(x,y)＝Ｅφ(x,y)
である。固有関数は
φ(x,y)＝Ａ・ｓｉｎ(ａπx／Ｌ)ｓｉｎ(ｂπx／Ｌ)、（ａ,ｂ＝１,2,3,・・・）とする。

問１
基底状態（ａ＝１、ｂ＝１）のエネルギー固有値を計算せよ。
問２
基底状態の固有関数を用いて、規格化条件からＡを求めよ。

回答No.2

chukanshi · ベストアンサー

まず、微分積分の基本。
sin(kx)をxで微分すると、k*cos(kx)。
cos(kx)をxで微分すると、-k*sin(kx)。
sin(kx)をxで積分すると、-cos(kx)/k。
cos(kx)をxで積分すると、sin(kx)/k。
sin(ax)sin(by)をxで偏微分すると、
a*cos(ax)cos(by)。もう一度偏微分すると、
-a^2*sin(ax)sin(by)。
sin(ax)sin(by)をyで偏微分すると、
b*cos(ax)cos(by)。もう一度偏微分すると、
-b^2*sin(ax)sin(by)。
以上基礎知識。

問１補足：
φをシュレディンガー方程式に代入するが、二階偏微分すると、
その部分は、
-(π/L)^2(a^2+b^2)Ａ・ｓｉｎ(ａπx／Ｌ)ｓｉｎ(ｂπx／Ｌ)
=-(π/L)^2(a^2+b^2)φ
となります。
Ｕ(x,y)＝０、０≦ｘ≦Ｌ、０≦ｙ≦Ｌ
で、０≦ｘ≦Ｌ、０≦ｙ≦Ｌ の範囲の任意の
x,yでＵ(x,y)＝０ですから、
H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)＝E
が成り立ちます。φは両辺共通で消えます。

問２補足：
｜φ｜^2の積分をしようとすると、
（ｓｉｎ(πx／Ｌ)）^2*(ｓｉｎ(πx／Ｌ))^2
のxとyの積分が出てきます。xとyの積分は、xとyについて
独立にします。
つまり（ｓｉｎ(πx／Ｌ)）^2がわかればいいですね。
(sin(ax))^2=(1-cos(2ax))/2が三角関数の公式ですから、
（ｓｉｎ(πx／Ｌ)）^2の積分は
(x/2-sin(πx／Ｌ)L/（４π）)です。
結局、０からＬまで積分すると、
（Ｌ／２－０）－（０－０）＝Ｌ／２。
yについても同様だから、
｜φ｜^2のx,yについて０からＬまでの積分は、
(AL/2)^2になります。
規格化条件は
(AL/2)^2=1となりますから、
A=2/Lです。

以上の補足でいかかでしょうか。

お礼

ありがとうございました。
また勉強させていただきます。

回答No.1

chukanshi

問１．
固有関数をシュレディンガー方程式に代入して、微分を実行すると、
H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)φ＋Uφ＝Eφ
となる。
Ｕ(x,y)＝０、０≦ｘ≦Ｌ、０≦ｙ≦Ｌ
より、
H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)＝E
となり、基底状態（ａ＝１、ｂ＝１）では
エネルギー固有値は
E_0=H^2/(2m)(π/L)^2・・・（答）

問２．
｜φ｜^2を０≦ｘ≦Ｌ、０≦ｙ≦Ｌ で積分した値が１になるように
規格化因子Aをとる。
｜φ｜^2を０≦ｘ≦Ｌ、０≦ｙ≦Ｌ で積分した値は、
(LA)^2/4でこれが１だから、
A＝2/L・・・（答）

たぶんこれでOK。

補足

解答ありがとうございます。
ただ、微分・積分が苦手なものですから、
お暇があれば途中経過も記入して頂くとありがたいです。
どうでしょうか？