再び井戸型ポテンシャル…

質問

すみません、再びなのですが、今度は２次元井戸方ポテンシャル（0<x<L,V=0 x<0,x>L,V=∞）の問題で、固有エネルギーEiがEcより小さなすべての固有状態の数N（E)を求めよという問題なのですが、今度はN（E)が円の面積（Nx,Ny座標での)になっているというイメージがどうもよくわかりません…。なぜそうなるのでしょうか？教えていただけませんか？

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

すみません。タイプミスがありましたので、少しだけ訂正させて下さい。

質問の（0<x<L,V=0 x<0,x>L,V=∞）ではyの範囲が指定されていないので、yの範囲もxの範囲と同じにしましたのでNo1の計算は、正方形の範囲で行いました。計算しました。したがって、x,y方向の量子数をnx,nyとしたとき、エネルギー固有値はnx^2+ny^2に比例しますので、固有状態の個数N(E)は、第一象限で、この円の内部に含まれる点（格子点）の個数です。

２次元井戸型ポテンシャルを(0<x<K,0<y<L,V=0;x<0,x>K,y<0,y>L ,V=∞）の矩形にとると、エネルギー固有値はa*nx^2+b*ny^2に比例しますので、固有状態の個数N(E)は、第一象限で、この楕円の内部に含まれる格子点の個数になるわけです。

お礼

そういうことですか。詳しく回答していただいてありがとうございました。おかげで、理解することができました。また、何かわからないことがあったら、よろしくお願いします。

回答No.2

ojisan7

wangwinfさんの考え方の方向で良いと思います。

２次元の場合も、１次元の場合とさほど変わりません。ただ、２次元以上になるとエネルギー固有値の縮退が生じますので注意する必要があります。計算してみれば容易に分かることですが、x,y,z方向の量子数をnx,ny,nzとしたとき、エネルギー固有値はnx^2+ny^2に比例しますので、固有状態の個数はこの円の内部に含まれる点（格子点）の個数です。

お礼

回答ありがとうございます。意味がわかりました。また、よろしくお願いします。

回答No.1

wangwinf

円の面積という表現がよく分からないのですが、
その井戸型ポテンシャルが長方形なら、
x方向の固有エネルギー
と
y方向の固有エネルギー
は独立に求められるので、２つを合計すれば
固有エネルギーが求められるはずです。
それで合計のエネルギーがEcより小さいのを数えれば答えになるのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。円の面積というのがなかなかわからなっかたのですが、結局理解できました。