２次元井戸型ポテンシャルの問題がわかりません

質問

「ポテンシャルＶ（ｘ、ｙ）は　

｛０＜＝ｘ、ｙ＜＝Ｌ｝のとき０
それ以外の領域は∞

のときのエネルギー固有値と波動関数を求めよ」

という問題なんですがよくわかりません。
周期的境界条件ってこの場合ありますか？
流れだけでもいいですので教えてください。

回答No.4

Umada · ベストアンサー

結論から言うと、X(L)=0 、Y(0)=0です。(この境界条件を課さないと解けません)
sotobayasiさんがつまづかれたのは式解釈の単純な誤りによります。

ポテンシャルを与えている式ですが、題意の式は
　0≦x≦L　かつ　0≦y≦L
　の領域で0、
　それ以外の領域で無限大
との意味に解釈すべきです。(でないと、2次元量子井戸にならないですよね)
もし出題者がポテンシャルをsotobayasiさんの解釈のように
　0≦xで0　また　y≦Lで0
と与えたかったのならばLなんて値を持ち出さずに、ポテンシャルを
　0≦xで0　また　y≦0で0
と与えたはずです。(∵単なる座標の平行移動なので、本質的に同じ問題)

そもそもポテンシャル0の部分が半無限に広がっているのであれば波動関数はどこまでも広がってしまい、規格化条件∫|φ|^2 dr=1を適用できません。
またエネルギー準位も好きなものを取れますから固有値はなんでもよくなってしまいます。

以下の図はポテンシャルの井戸を上から覗いた図です。(■が無限にポテンシャルの高いところ、□がポテンシャル0のところだと思って下さい)
【正しい解釈】
y
↑→x
■■■■■■
■■■■■■
■■□□■■L
■■□□■■0
■■■■■■
■■■■■■
　　0　L

【誤った解釈】
y
↑→x
■■■■■■
■■■■■■
■■□□□□L
■■□□□□
■■□□□□→無限にポテンシャル0の部分が続く
■■□□□□
　　0　　↓こちらも無限にポテンシャル0の部分が続く

お礼

どうもありがとうございました。
おっしゃる通り勘違いでした。確かに井戸型ではないですよね。
何度もすいませんでした。

回答No.5

brogie

No.2のbrogieです。

本質的なことではありまえんが、Umadaさんの回答の式でdと書くべきところを∂とウッカリ書かれてようですので、念のため書いておきます。
(2)式からは∂のところはdです。例えば、(4a)式は
-A^2(1/X)(d^2X/dx^2)=E1(4a)
になると思います。

失礼しました。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
変数分離でやればなんとか解けました。

回答No.3

motsuan

周期境界条件をとってクローニッヒ ‐ ペニー　のモデル井戸型ポテンシャルを考えて、
井戸の深さ（壁の高さ）を∞にしても解は得られますが、
普通はそうはしないのではないでしょうか？

｛０＜＝ｘ、ｙ＜＝Ｌ｝以外の領域は∞ なので、
そこでの波動関数（？）を考えてみれば、
おのずと、ｘ，ｙ＝０，Ｌのときの境界条件がわかると思います
（周期境界条件ではなく、
　剛体境界（？？）条件（rigid bounray condition)で解けば良く、
　｛０＜＝ｘ、ｙ＜＝Ｌ｝の中だけ考えれば良いことがわかります。）

ちなみに、こういう四角の箱型や、円でない変な形の場合は
きれいな準位に分かれなくなって、量子カオスが起こってきます。

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.2

brogie

この程度の問題は量子力学のテキストには必ず記載されています。図書館などで調べて下さい。従って、皆さんからは、回答してもらえないのではないでしょうか？

ここでは、ヒントだけ書いておきます。
2次元の問題ですから、
（１）ψ（x,y,t）＝φ（x,y）T(t)
とおく、
（２）φ（x,y）＝X（x）Y（t）
とおく、
X,Y,Tの微分方程式が求まります。
この微分方程式を解いて、
境界条件
（３）X(0)＝X(L)＝0,Y(0)＝Y(L)＝0
規格化条件
（４）∫│X(x)│^2dx＝1など
以上の条件で解いていきますと、固有関数と固有値が求まります。

では、頑張って解いて見て下さい。分からない時は図書館行きです。自分の手で解いてみることです。

お礼

どうもありがとうございました。
どうやら単純に式の解釈を間違っていたみたいです（恥）。
どうもお手数かけました。

回答No.1

Umada

井戸型ポテンシャルはSchroedinger方程式を解く問題としては、比較的とっつきやすいものですね。

1. 波動関数をφ(x,y)と置き、Schroedinger方程式を書き下す。
-A^2 ∇^2 φ(x,y)=E φ(x,y) (1)
ここに、A^2は　(Planck定数を2πで割ったもの)^2/2m　なる定数、mは粒子の質量。またこのとき定数をAでなくA^2とおいたのは後の計算上の技巧のため。

2. 変数分離型の解を求める。
すなわちφ(x,y)=X(x) Y(y)とおき、上の式に代入する。
-A^2 (Y(∂^2 X/∂x^2) +X(∂^2 Y/∂y^2)) = E X(x) Y(y) (2)
両辺をXYで除して
-A^2 ((1/X)(∂^2 X/∂x^2) +(1/Y)(∂^2 Y/∂y^2)) = E (3)
第一項はxのみの関数、第二項はyのみの関数であり、(3)が恒等的に成り立つためには
-A^2 (1/X)(∂^2 X/∂x^2) =E1 (4a)
-A^2 (1/Y)(∂^2 Y/∂y^2) =E2 (4b)
が必要十分である。ここにE1, E2は定数であり、E1+E2=Eの関係を満たす。

この方程式は簡単な線形2階微分方程式に帰着しますからすぐに解けますね((4a)の両辺にXをかけるだけ)。普通の2次元膜の振動と本質的に同じ問題です。

3. 境界条件を検討する。
井戸の外ではではVは無限大です。計算してみると分かるのですがここでは波動関数は恒等的に0になります。波動関数が境界x,y=0およびx,y=Lで滑らかにつながるという要請を考えると、
X(0)=X(L)=0 (5a)
Y(0)=Y(L)=0 (5b)
が境界条件として課されます。

4. 固有値を求める
これは(4a)(4b)式に、得られた波動関数X(x), Y(y)を代入することで求まります。
E1, E2をそれぞれ求めて、最後に足せばよいわけです。

周期的境界条件はこの場合関係ありません。(なぜなら、井戸は一個しかないわけですから)
もし井戸が多数個並んでいて、かつ井戸の障壁が有限の高さであれば周期的境界条件が関係してきます。この場合は粒子が取りうるエネルギーに幅が生じるます。(固体のバンド構造の話へとつながっていきます)

*解き方の大筋は上でよいはずですが、細かいところでタイプミス、計算ミスをしているかも知れません。検算しながら読んで頂ければ幸いです。

お礼

ありがとうございます。
変数分離のとこまではいけたんです。
＞X(0)=X(L)=0
＞Y(0)=Y(L)=0
とありますが X(L)=0 、Y(0)=0ですか？
ｘ＞＝０
ｙ＜＝L
でポテンシャルは０という条件からX(L)=0 、Y(0)=0と
いう境界がひけるんですか？
何度もすいませんできればお答え願います。