無限に深い井戸型ポテンシャルについて

質問

「ブタジエンの炭素原子の配列を一直線と近似して、両端の炭素原子間の距離L=5.78Åとすると、4個の炭素原子が無限に深い井戸型ポテンシャルを形成していると考えるとき、ブタジエンの基底状態のエネルギーE1を求めよ。4個のΠ電子間の斥力は無視できて、各々が自由電子として振舞うとする。」
以上の様な問題を考えるときにおいて、
エネルギー固有値E= h'^2*Π^2*n^2 /2*m*Lに代入して求めると思うのですが、(h'=h/2Π m=静止した電子の質量)
計算する際にLについてのどのように考えれば良いかがわかりません。私はL/4orLor4Lいずれも計算してみたのですが、どうも合いません^^;
どう解釈すれば良いと思われますか？

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

>En=n^2*9.17*10^-10 [nm]という形になりました。
えっと、何をどう間違えたらこうなるのか分かりませんが、Enはエネルギーなので、単位の時点で違いますよね。

>217nmよりも遥かに小さい数値で出て来たので、答えをみなせないとしてもOKかもしれませんが、もしかしたら私の問題解釈が違うのでは？
ざっと見積もっただけですが、λは200nmくらいにはなるので、こんな簡単なモデルでも、ブタジエンが説明できるって事でしょう。
まぁ、「みなせない」って答えだと、そもそも、こんなモデルを考えるな、って話ですからね。

回答No.2

connykelly

井戸の幅の見積りがおかしいのでは、、、
＞両端の炭素原子間の距離L=5.78Å
からC-C平均距離は5.78/4=1.445。両端のCからは距離1.445/2の結合手が出ているとするとL=5.78+1.445/2=7.225とおいてみたらどうでしょうか、自信はありませんが。。。

＞エネルギー固有値E= h'^2*Π^2*n^2 /2*m*L
分母は2*m*L^2ではないでしょうか。

回答No.1

eatern27

>計算する際にLについてのどのように考えれば良いかがわかりません。

長さＬのブタジエンに閉じこめられていると考えるのですから、井戸の幅がＬですね。

>私はL/4orLor4Lいずれも計算してみたのですが、どうも合いません^^;
どういう計算をしてどういう結果になって、何と合わないのでしょう？

お礼

説明が不足しているようで申し訳ありません＞＜；
補足をすると、この問題には続きがあります。
「ブタジエンは217nmの電磁波を吸収する。これをn=2からn=3の励起として大幅にみなせるかを示せ。」とあります。
井戸の幅をLと考えた時、私はまず先の式に代入して
En=n^2*9.17*10^-10 [nm]という形になりました。
その後でその結果を用いて、
E3-E2=hc/λより(h=プランク定数 c=光速 λ=波長)
波長を求めてみたのですが、217nmよりも遥かに小さい数値で出て来たので、答えをみなせないとしてもOKかもしれませんが、もしかしたら私の問題解釈が違うのでは？と疑問に思って質問させて頂きました。