積分の発散のオーダーを知りたいです。

質問

S_n=∫_{-1→1}dz∫_{a→n}dx∫_{a→n}dyh(x,y,z),
ただし、a>0, h(x,y,z)=(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))(1/L(x,y,z))^2,
f(x)=√(x^2+c^2), c>0, E(x)=x^2/(2m)+f(x), m>0, L(x,y,z)=(x^2+y^2+2xyz)/(2m)+f(x)+f(y).
この３重積分のn→∞のときの発散のオーダーの求め方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

訂正します
c>0
f(x)=√(x^2+c^2)
m>0
E(x)=x^2/(2m)+f(x)
L(x,y,z)=(x^2+y^2+2xyz)/(2m)+f(x)+f(y)
h(x,y,z)=(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y)){1/L(x,y,z)}^2
a>0
S_n=∫_{-1→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx
とすると
S_n
=
∫_{-1→0}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx
+∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx
=
∫_{1→0}-dw∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,-w)dx
+∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx
=
∫_{0→1}dw∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,-w)dx
+∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx
=
∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,-z)dx
+∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx
=
∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}{h(x,y,-z)+h(x,y,z)}dx
となる
g(x,y,z)=h(x,y,z)+h(x,y,-z)
とすると
S_n=∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}g(x,y,z)dx
h(x,y,-z)=(-zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y)){1/L(x,y,-z)}^2
g(x,y,z)
=h(x,y,-z)+h(x,y,z)
=(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))[{1/L(x,y,z)}^2-{1/L(x,y,-z)}^2]
=(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y)){L(x,y,-z)-L(x,y,z)}{L(x,y,-z)+L(x,y,z)}
/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}^2
=(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y)){-2xyz/m}[{(x^2+y^2)/m}+2f(x)+2f(y)]
/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}^2
=-(2/m)(z^2x^4y^4)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))[{(x^2+y^2)/m}+2f(x)+2f(y)]
/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}^2
<0
となるから
S_n
=∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{y→n}g(x,y,z)dx+∫_{0→1}dz∫_{a→n}dx∫_{x→n}g(x,y,z)dy
=∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{y→n}g(x,y,z)dx+∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{y→n}g(y,x,z)dx
=2∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{y→n}g(x,y,z)dx
=
2∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{y→2y}g(x,y,z)dx
+2∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{2y→n}g(x,y,z)dx
<0
だから
S_nは単調減少数列

0<a≦x
0<a≦y
1≦x/a
c≦cx/a
x^2+c^2≦(a^2+c^2)x^2/a^2
x^2<x^2+c^2
x<f(x)=√(x^2+c^2)≦x{√(a^2+c^2)}/a
2f(x)≦2x{√(a^2+c^2)}/a
2f(y)≦2y{√(a^2+c^2)}/a
1/f(x)<1/x
1/f(y)<1/y
x^2/(2m)<E(x)
1/E(x)<2m/x^2
y^2/(2m)<E(y)
1/E(y)<2m/y^2
x^2/(2m)<L(x,y,z)
1/L(x,y,z)<2m/x^2
1/{L(x,y,z)}^2<4m^2/x^4
x<L(x,y,-z)
1/L(x,y,-z)<1/x
1/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}^2<4m^2/x^6
y≦xの時
y^2/m≦x^2/m
2f(x)≦2x{√(a^2+c^2)}/a≦2x^2{√(a^2+c^2)}/a^2
2f(y)≦2y{√(a^2+c^2)}/a≦2x{√(a^2+c^2)}/a≦2x^2{√(a^2+c^2)}/a^2
{(x^2+y^2)/m}+2f(x)+2f(y)<2x^2[1/m+{√(a^2+c^2)}/a^2]
x≦2yの時
1/y≦2/x
1/y^2≦4/x^2
2m/y^2≦8m/x^2
1/E(y)<2m/y^2≦8m/x^2
1/E(x)+1/E(y)<10m/x^2
1/{E(x)}^2<4m^2/x^4
2/{E(y)}^2<64m^2/x^4
1/E(x)^2+1/E(y)^2<68m^2/x^4

-g(x,y,z)
=
(2/m)(z^2x^4y^4)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))[{(x^2+y^2)/m}+2f(x)+2f(y)]
/{L(x,y,z)(x,y,-z)}^2
<
16*68*10m^3[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]z^2y^3/x^7

-∫_{y→2y}g(x,y,z)dx
<
16*68*10m^3[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]z^2y^3∫_{y→2y}(1/x^7)dx
=(8*68*10/3)m^3[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]z^2y^3[-1/x^6]_{y→2y}
=(17*5*21)m^3[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]z^2/y^3

-2∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{y→2y}g(x,y,z)dx
<
2(17*5*21)m^3[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]∫_{0→1}z^2dz∫_{a→n}(1/y^3)dy
=
(17*5*7)m^3[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2][1/a^2-1/n^2]
<
(17*5*7)m^3[1+m{√(a^2+c^2)}/a^4

2y≦xの時
1/x≦1/(2y)
1/x^2≦1/(4y^2)
1/E(x)<2m/x^2≦m/(2y^2)
1/E(y)<2m/y^2
1/E(x)+1/E(y)<(5m/2)/y^2
1/{E(x)}^2<m^2/(4y^4)
1/{E(y)}^2<4m^2/y^4
1/{E(x)}^2+1/{E(y)}^2<(17m^2/4)/y^4
y≦x/2
x/2≦x-y
x^2/4≦(x-y)^2
L(x,y,-z)
=(x^2+y^2-2xyz)/(2m)+f(x)+f(y)
={(x-y)^2+2xy(1-z)}/(2m)+f(x)+f(y)
>x^2/(8m)
1/L(x,y,-z)<8m/x^2
1/{L(x,y,-z)}^2<64m^2/x^4

-g(x,y,z)
=
(2/m)(z^2x^4y^4)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))[{(x^2+y^2)/m}+2f(x)+2f(y)]
/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}^2
<
640*17m^5[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]z^2/y^3/x^3

-∫_{2y→n}g(x,y,z)dx
<
{640*17m^5[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]z^2/y^3}∫_{2y→n}(1/x^3)dx
={160*17m^5[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]z^2/y^3}[-1/x^4]_{2y→n}
={160*17m^5[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]z^2/y^3}[1/(16y^4)-1/n^4]
<170m^5[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]z^2/y^7

-2∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{2y→n}g(x,y,z)dx
<
2*170m^5[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2]∫_{0→1}z^2dz∫_{a→n}(1/y^7)dy
<(17*5/2)m^5[1+m{√(a^2+c^2)}/a^2][1/a^8-1/n^8]
<(17*5/2)m^5[1+m{√(a^2+c^2)}/a^10

0
>
S_n
>
2∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{y→2y}g(x,y,z)dx
+2∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{2y→n}g(x,y,z)dx
>
-(17*5*7)m^3[1+m{√(a^2+c^2)}/a^4
-(17*5/2)m^5[1+m{√(a^2+c^2)}/a^10
∴
S_nは下に有界な単調減少数列だから収束する

お礼

わざわざ訂正してご回答くださりありがとうございました。こちらも大変良くわかりました。

回答No.1

jcpmutura

c>0
f(x)=√(x^2+c^2)
m>0
E(x)=x^2/(2m)+f(x)
L(x,y,z)=(x^2+y^2+2xyz)/(2m)+f(x)+f(y)
h(x,y,z)=(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))1/L(x,y,z)
a>0
S_n=∫_{-1→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx
g(x,y,z)=h(x,y,z)+h(x,y,-z)
g1(x,y,z)=-(2/m)z^2[y^4/{f(y)E(y)^3}]x^4/{f(x)L(x,y,z)L(x,y,-z)}
g2(x,y,z)=-(2/m)z^2[y^4/{f(y)E(y)^2}]x^4/{f(x)E(x)L(x,y,z)L(x,y,-z)}
S1_n=∫_{0→1}dz∫_{a→a+1}dy∫_{2a+2+c→n}g1(x,y,z)dx
S2_n=
∫_{0→1}dz∫_{a→a+1}dy∫_{a→2a+2+c}g1(x,y,z)dx
+∫_{0→1}dz∫_{a+1～n}dy∫_{a→n}g1(x,y,z)dx

S3_n=∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}g2(x,y,z)dx
とすると
f(x)>0
E(x)>0
L(x,y,z)={(x-y)^2+2xy(1+z)}/(2m)+f(x)+f(y)>0
g1(x,y,z)<0
g2(x,y,z)<0
S1_n<0
S2_n<0
S3_n<0

S_n
=∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx+∫_{-1→0}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx
=∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx-∫_{1→0}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,-z)dx
=∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,z)dx+∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}h(x,y,-z)dx
=∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}{h(x,y,z)+h(x,y,-z)}dx
=∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}g(x,y,z)dx

1/L(x,y,z)-1/L(x,y,-z)
={L(x,y,-z)-L(x,y,z)}/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
=-2xyz/{mL(x,y,z)L(x,y,-z)}

g(x,y,z)=h(x,y,z)+h(x,y,-z)
=
(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))1/L(x,y,z)
-(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))1/L(x,y,-z)
=
(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y)){1/L(x,y,z)-1/L(x,y,-z)}
=
-(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
<0

S_n<0

g(x,y,z)
=
-(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2)(1/E(x))/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
-(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2)(1/E(y))/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
-(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(y)^2)(1/E(x))/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
-(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(y)^2)(1/E(y))/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
=
-(2/m)z^2[x^4/{f(x)E(x)^3}]y^4/{f(y)L(x,y,z)L(x,y,-z)}
-(2/m)z^2[x^4/{f(x)E(x)^2}]y^4/{f(y)E(y)L(x,y,z)L(x,y,-z)}
-(2/m)z^2[y^4/{f(y)E(y)^2}]x^4/{f(x)E(x)L(x,y,z)L(x,y,-z)}
-(2/m)z^2[y^4/{f(y)E(y)^3}]x^4/{f(x)L(x,y,z)L(x,y,-z)}
=g1(y,x,z)+g2(y,x,z)+g2(y,x,z)+g1(x,y,z)

S_n
=∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}g(x,y,z)dx
=
2∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}g1(x,y,z)dx
+2∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}g2(x,y,z)dx
=
2∫_{0→1}dz∫_{a→a+1}dy∫_{2a+2+c→n}g1(x,y,z)dx
+2∫_{0→1}dz∫_{a→a+1}dy∫_{a→2a+2+c}g1(x,y,z)dx
+2∫_{0→1}dz∫_{a+1→n}dy∫_{a→n}g1(x,y,z)dx
+2∫_{0→1}dz∫_{a→n}dy∫_{a→n}g2(x,y,z)dx
=S1_n+S2_n+S3_n

2a+2+c<xの時
c^2<x^2
x^2+c^2<2x^2<4x^2
f(x)=√(x^2+c^2)<2x
1/f(x)>1/(2x)

y<a+1<2a+2+c<xの時
2y<x
x/2<x-y<x
(x-y)^2<x^2
(x-y)^2/(2m)<x^2/(2m)
1+z<2
xy(1+z)/m<x^2/m
f(x)<2x<x^2
f(y)<2y<x^2
{(x-y)^2+2xy(1±z)}/(2m)+f(x)+f(y)<(3+4m)x^2/(2m)
L(x,y,z)<(3+4m)x^2/(2m)
L(x,y,-z)<(3+4m)x^2/(2m)
1/L(x,y,z)>2m/{(3+4m)x^2}
1/L(x,y,-z)>2m/{(3+4m)x^2}

∫_{2a+2+c→n}x^4/{f(x)L(x,y,z)L(x,y,-z)}dx
>{2m/(3+4m)}∫_{a～n}(1/x)dx
={2m/(3+4m)}[logx]_{a～n}
={2m/(3+4m)}(logn-loga)

K=∫_{0→1}(2/m)z^2dz∫_{a→a+1}y^4/{f(y)E(y)^3}dy
とすると

S_n
=S1_n+S2_n+S3_n
<S1_n
=∫_{0→1}dz∫_{a→a+1}dy∫_{2a+2+c→n}g1(x,y,z)dx
<-∫_{0→1}(2/m)z^2dz∫_{a→a+1}y^4/{f(y)E(y)^3}dy∫_{2a+2+c→n}x^4/{f(x)L(x,y,z)L(x,y,-z)}dx
<-K{2m/(3+4m)}(logn-loga)

lim_{n→∞}S_n<lim_{n→∞}-K{2m/(3+4m)}(logn-loga)=-∞

lim_{n→∞}S_n=-∞
S_nはn→∞の時(≦-logn)のオーダーで(-∞)(負の∞)に発散する

お礼

ご回答ありがとうございました。
ただ、この問題は
h(x,y,z)=(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))1/L(x,y,z)
ではなく、
h(x,y,z)=(zx^3y^3)/{f(x)f(y)}(1/E(x)^2+1/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y))1/{L(x,y,z)}^2
の３重積分のオーダーを求めようとしています。
この場合はどうなるでしょうか？