(γt)^x を x について微分

質問

f(x;t) = (γt)^x を、x について微分したいと思っています。
但し、γ は x の関数です。

答えは、γ' = dγ/dx として、
f(x;t)' = (γt)^c [ ln(γt) + x*γ'/γ ]
となるようですが、どのように導くのか分からず、困っています。

答えの導き方を教えて頂けると嬉しく思います。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

多変数合成関数の微分公式
df/fx = (∂f/∂u)(du/dx) + (∂f/∂v)(dv/dx)
があります。
（中間の変数 u, v, … は、３個以上でもかまいません。）
ここでは、f = v^u, u = x, v = γt とすれば、
この式がソノママ適用できます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

> 多変数合成関数の微分公式
> df/fx = (∂f/∂u)(du/dx) + (∂f/∂v)(dv/dx)

便利な公式を教えて頂き、有難く思います。
ソノママ適用して、答えに辿りつけました ^^);

回答No.4

info22

>f(x;t)' = (γt)^c [ ln(γt) + x*γ'/γ ]
これ間違い↑。
元の式にない文字「c」が入っているのは間違いです。

両辺の自然対数をとって微分すれば簡単です。
logf(x;t)=xlog(γt)
f_x/f=log(γt) + x*{γ'/(γt)}
f_x(x,y)={(γt)^x}*[log(γt) + x*{γ'/(γt)}]

後は適当に式を整理するだけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
# 誤字、すみませんでした。

なるほど。
そのとおりですね。
明確な式展開、どうもありがとうございました！

回答No.3

noname#96505

ひと通りやり方を説明すると、まず両辺に底をeとする対数をとる。
次にそれぞれ両辺でxを微分するとf(x,t)'の形が出るので上手く
f(x,t)'=の形を持ってくると出る。ちなみにこれは説明とずれるが今
関数fはxとtについての関数であるからこの場合xだけについて微分することを∂f(x,t)/∂xと書いてxについての偏微分といいます。

補足

ご回答ありがとうございます。
明確な文章、感謝いたします！

回答No.2

arrysthmia

誤字陳謝：
df/dx = (∂f/∂u)(du/dx) + (∂f/∂v)(dv/dx)